Modulation Methods/Pulse Code Modulation

1. Modulation Methods
2. Digitale Modulationsverfahren
3. Pulse Code Modulation

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Prinzip und Blockschaltbild (1)

Nahezu alle heute eingesetzten Modulationsverfahren arbeiten digital. Deren Vorteile wurden schon im Kapitel 1.1 aufgeführt. Das erste Konzept zur digitalen Signalübertragung wurde bereits 1938 von Alec Reeves entwickelt und wird seit den 1960er Jahren unter dem Namen Pulscodemodulation (PCM) auch in der Praxis eingesetzt. Auch wenn sich viele der in den letzten Jahren konzipierten digitalen Modulationsverfahren von der PCM im Detail unterscheiden, so eignet sich diese doch sehr gut, um das Prinzip all dieser Verfahren zu erklären.

Die Aufgabe des PCM–Systems ist es,

• das analoge Quellensignal $q(t)$ in das Binärsignal $q_{\rm C}(t)$ umzusetzen – diesen Vorgang bezeichnet man auch als A/D–Wandlung,
• dieses Signal über den Kanal zu übertragen, wobei das empfängerseitige Signal $υ_{\rm C}(t)$ wegen des Entscheiders ebenfalls binär ist,
• schließlich aus dem Binärsignal $υ_{\rm C}(t)$ das analoge, wert– und zeitkontinuierliche Sinkensignal $υ(t)$ zu rekonstruieren ⇒ D/A–Wandlung.

Prinzip und Blockschaltbild (2)

Weiterhin ist zum obigen PCM–Blockschaltbild anzumerken:

• Der PCM–Sender (bzw. der A/D–Wandler) setzt sich aus den drei Funktionsblöcken Abtastung – Quantisierung – PCM–Codierung zusammen, die in den nächsten Abschnitten noch im Detail beschrieben werden.

• Der grau hinterlegte Block zeigt das digitale Übertragungssystem mit digitalem Sender und Empfänger (letzterer beinhaltet auch einen Entscheider), sowie dem analogen Übertragungskanal, gekennzeichnet durch den Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ und die Rauschleistungsdichte ${\it Φ}_n(f)$.

• Dieser Block wird in den ersten drei Kapiteln des Buches „Digitalsignalübertragung” eingehend behandelt. Im Kapitel 5 des gleichen Buches finden Sie auch digitale Kanalmodelle, die das Übertragungsverhalten anhand der Binärsignale $q_{\rm C}(t)$ und $υ_{\rm C}(t)$ phänomenologisch beschreiben.

• Weiter erkennt man aus dem Blockschaltbild, dass es für die Quantisierung empfängerseitig keine Entsprechung gibt. Deshalb wird sich auch bei fehlerfreier Übertragung, also für $υ_{\rm C}(t) = q_{\rm C}(t)$, das analoge Sinkensignal $υ(t)$ vom Quellensignal $q(t)$ unterscheiden.

• Als Maß für die Qualität des (digitalen) Übertragungssystems verwenden wir das Sinken–SNR als der Quotient der Leistungen von Nutzsignal $q(t)$ und Fehlersignal $ε(t) = υ(t) – q(t)$:

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm}P_q = \overline{q(t)^2}, \hspace{0.2cm}P_\varepsilon = \overline{[v(t) - q(t)]^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist ideale Amplitudenanpassung vorausgesetzt, so dass im Idealfall (das heißt: Abtastung gemäß dem Abtasttheorem, bestmögliche Signalrekonstruktion, unendlich feine Quantisierung) das Sinkensignal $υ(t)$ mit dem Quellensignal $q(t)$ exakt übereinstimmen würde.

Wir möchten Sie bereits hier auf das 3–teilige Lernvideo Pulscodemodulation (Gesamtdauer 46:45) hinweisen, dass alle Aspekte der PCM beinhaltet. Das Prinzip wird im ersten Teil ausführlich erläutert.

Abtastung und Signalrekonstruktion (1)

Die Abtastung – also die Zeitdiskretisierung des Analogsignals $q(t)$ – wurde im Kapitel 5.1 des Buches „Signaldarstellung” ausführlich behandelt. Hier folgt eine Kurzzusammenfassung dieses Abschnitts.

Die Grafik verdeutlicht die Abtastung im Zeitbereich. Das (blaue) Signal $q(t)$ ist zeitkontinuierlich und das im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastete (grüne) Signal $q_{\rm A}(t)$ zeitdiskret. Dabei gilt:

• Die Abtastung lässt sich durch die Multiplikation des Analogsignals $q(t)$ mit dem Diracpuls $p_δ(t)$ darstellen, der sich auf den Zeitbereich bezieht:

$$q_{\rm A}(t) = q(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm}p_{\delta}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{\infty}T_{\rm A}\cdot \delta(t - \nu \cdot T_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$

• Das Gewicht der Diracfunktion bei $t = ν · T_{\rm A}$ ist gleich $T_{\rm A} · q(ν · T_{\rm A})$. Da die Diracfunktion $δ(t)$ die Einheit 1/s aufweist, hat somit $q_{\rm A}(t)$ die gleiche Einheit wie $q(t)$, zum Beispiel „V”.
• Die Fouriertransformierte des Diracpulses ist ebenfalls ein Diracpuls (im Frequenzbereich), wobei der Abstand der einzelnen Diraclinien $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ beträgt. Alle Impulsgewichte von $P_δ(f)$ sind 1:

$$p_{\delta}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}T_{\rm A}\cdot \delta(t - \nu \cdot T_{\rm A}) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f)= \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$

• Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals ergibt sich aus dem Faltungssatz, wobei $Q(f)$ das kontinuierliche Spektrum des Analogsignals $q(t)$ bezeichnet:

$$Q_{\rm A}(f) = Q(f) \star P_{\delta}(f)= \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} Q(f - \mu \cdot f_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen werden im nächsten Abschnitt durch ein Beispiel verdeutlicht.

Wir weisen Sie hier auf den zweiten Teil des Lernvideos Pulscodemodulation (Dauer 12:53) hin, das die Abtastung und die Signalrekonstruktion systemtheoretisch erklärt.

Abtastung und Signalrekonstruktion (2)

Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $Q(f)$ eines analogen Quellensignals $q(t)$, das Frequenzen bis $f_{\rm N, max} =$ 5 kHz beinhaltet. Tastet man das Signal mit der Abtastrate $f_{\rm A} =$ 20 kHz (also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A} =$ 50 μs) ab, so erhält man das grün skizzierte periodische Spektrum $Q_{\rm A}(f)$. Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet $q_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile und dementsprechend ist $Q_{\rm A}(f)$ bis ins Unendliche ausgedehnt (mittlere Grafik). Darunter (rot) gezeichnet ist das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ für die Abtastparameter $T_{\rm A} =$ 100 μs ⇒ $f_{\rm A} =$ 10 kHz.

Aus diesem Beispiel lassen sich folgende wichtige Erkenntnisse bezüglich der Abtastung gewinnen:

• Beinhaltet $Q(f)$ Frequenzen bis $f_{\rm N, max}$, so muss die Abtastrate $f_{\rm A} ≥ 2 · f_{\rm N, max}$ gewählt werden ⇒ Abtasttheorem. Bei kleinerer Abtastrate $f_{\rm A}$ (also größerem Abtastabstand $T_{\rm A}$) kommt es zu Überlappungen der periodifizierten Spektren und damit zu irreversiblen Verzerrungen.
• Gilt exakt $f_{\rm A} = 2 · f_{\rm N, max}$ wie in der unteren Grafik des obigen Beispiels, so kann $Q(f)$ aus $Q_{\rm A}(f)$ – bzw. im PCM–System $V(f)$ aus $V_{\rm Q}(f)$ – durch einen idealen rechteckförmigen Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ vollständig rekonstruiert werden.
• Erfolgt dagegen die Abtastung mit $f_{\rm A} > 2 · f_{\rm N, max}$ wie in der mittleren Grafik des Beispiels, so kann empfängerseitig zur Signalrekonstruktion auch ein Tiefpass $H(f)$ mit kleinerer Flankensteilheit verwendet werden, solange die folgende Bedingung erfüllt ist:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| \le f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max},} \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge f_{\rm A}- f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}.} \\ \end{array}$$

Natürliche und diskrete Abtastung (1)

Die Multiplikation mit dem Diracpuls liefert nur eine idealisierte Beschreibung der Abtastung, da eine Diracfunktion (Dauer $T_{\rm R} → 0$, Höhe $1/T_{\rm R} → ∞$) nicht realisierbar ist. In der Praxis muss der Diracpuls $p_δ(t)$ zum Beispiel durch einen Rechteckpuls $$p_{\rm R}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}g_{\rm R}(t - \nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}\\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c}{\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\{\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$ ersetzt werden, wobei die Rechteckimpulsdauer $T_{\rm R}$ deutlich kleiner als der Abtastabstand $T_{\rm A}$ sein sollte.

Die Grafik zeigt oben den Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$. Darunter sind zwei verschiedene Abtastverfahren mit diesem Rechteckpuls dargestellt:

• Bei der natürlichen Abtastung ergibt sich das abgetastete Signal $q_{\rm A}(t)$ durch die Multiplikation von $q(t)$ mit $p_{\rm R}(t)$. In den Bereichen $p_{\rm R}(t) =$ 1 hat somit $q_{\rm A}(t)$ den gleichen Verlauf wie $q(t)$.
• Dagegen wird bei der diskreten Abtastung das analoge Signal $q(t)$ – zumindest gedanklich – zuerst mit dem Diracpuls $p_δ(t)$ multipliziert und danach wird jeder Diracimpuls $T_{\rm A} · δ(t – ν · T_{\rm A})$ durch einen Rechteckimpuls $g_{\rm R}(t – ν · T_{\rm A})$ ersetzt.

Hier und bei der im nächsten Abschnitt folgenden Frequenzbereichsbetrachtung ist zur Vereinfachung eine akausale Beschreibungsform gewählt. Für eine (kausale) Realisierung müsste $g_{\rm R}(t) =$ 1 im Bereich von 0 bis $T_{\rm R}$ gelten, und nicht wie hier für $ \ –T_{\rm R}/2 < t < T_{\rm R}/2.$

Natürliche und diskrete Abtastung (2)

Die natürliche Abtastung lässt sich mit dem Faltungssatz im Spektralbereich wie folgt darstellen: $$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = P_{\rm R}(f) \star Q(f)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt das Ergebnis für

• ein rechteckförmiges Spektrum $Q(f) = Q_0$, das auf den Bereich $|f| ≤$ 4 kHz begrenzt ist,
• die Abtastrate $f_{\rm A} =$ 10 kHz ⇒ $T_{\rm A} =$ 100 μs sowie
• die Rechteckimpulsdauer $T_{\rm R} =$ 25 μs ⇒ $T_{\rm R}/T_{\rm A} =$ 0.25.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Das Spektrum $P_{\rm R}(f)$ ist im Gegensatz zu $P_δ(f)$ kein Diracpuls (alle Gewichte gleich 1), sondern die Impulsgewichte sind hier mit der Funktion $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A} = T_{\rm R}/T_{\rm A} · {\rm si}(πfT_{\rm R})$ bewertet. Auf Grund der Nullstelle der si–Funktion verschwinden die Diraclinien bei $±4f_{\rm A}$ vollständig.
• Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ ergibt sich aus der Faltung mit $Q(f)$. Das Rechteckspektrum um $f =$ 0 hat die Höhe $T_{\rm R}/T_{\rm A} · Q_0$, die Anteile um $\mu · f_{\rm A} (\mu ≠ 0)$ sind weniger hoch.
• Verwendet man zur Signalrekonstruktion einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} = 4 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}\\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

so gilt für das Ausgangsspektrum $V(f) = Q(f)$ und dementsprechend ist auch $υ(t) = q(t)$.

Dieses Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:

• Bei natürlicher Abtastung kann zur Signalrekonstruktion wie bei der idealen Abtastung (mit einem Diracpuls) ein idealer rechteckförmiger Tiefpass verwendet werden.
• Allerdings muss zur Amplitudenanpassung im Durchlassbereich eine Verstärkung um den Faktor $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ berücksichtigt werden.

Natürliche und diskrete Abtastung (3)

Bei der diskreten Abtastung erfolgt – zumindest gedanklich – zunächst die Multiplikation des Diracpulses $p_δ(t)$ mit dem Quellensignal $q(t)$ und erst danach die Faltung mit dem Rechteckimpuls $g_{\rm R}(t)$: $$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \star Q(f) \right ] \cdot G_{\rm R}(f)/{T_{\rm A}} \hspace{0.05cm}.$$ Es ist unerheblich, aber durchaus zweckmäßig, dass hier der Faktor $1/T_{\rm A}$ zur Bewertungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ hinzugefügt wurde. Damit gilt wieder $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A} = T_{\rm R}/T_{\rm A} · {\rm si}(πfT_{\rm R}).$

Die obere Grafik zeigt die Spektralfunktion $P_δ(f) \star Q(f)$ nach idealer Abtastung. Bei diskreter Abtastung mit einem Rechteckpuls ergibt sich dagegen das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ entsprechend dem unteren Diagramm. Man erkennt:

• Jedes der unendlich vielen Teilspektren hat nun eine andere Form. Wichtig ist allerdings nur das Spektrum mit der Mitte bei der Frequenz $f =$ 0, da alle anderen Spektralanteile empfängerseitig durch den Tiefpass der Signalrekonstruktion entfernt werden.
• Verwendet man für diesen Tiefpass wieder ein Rechteckfilter mit der Verstärkung um $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich, so erhält man für das Ausgangsspektrum:

$$V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.05cm}.$$

• Das bedeutet: Bei diskreter Abtastung und Rechteckfilterung kommt es zu Dämpfungsverzerrungen entsprechend der Bewertungsfunktion ${\rm si}(πfT_{\rm R})$. Diese sind um so stärker, je größer $T_{\rm R}$ ist. Nur im Grenzfall $T_{\rm R} → 0$ gilt ${\rm si}(πfT_{\rm R}) =$ 1.
• Allerdings können durch eine ideale Entzerrung diese linearen Dämpfungsverzerrungen vollständig kompensiert werden. Mit

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} (T_{\rm A}/T_{\rm R})/{\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}\\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2} \\ \end{array}$$

erhält man $V(f) = Q(f)$ bzw. $υ(t) = q(t)$.

Quantisierung und Quantisierungsrauschen

Die zweite Funktionseinheit Quantisierung des PCM–Senders dient der Wertediskretisierung. Hierzu wird der gesamte Wertebereich des analogen Quellensignals (zum Beispiel der Bereich $± q_{\rm max}$) in $M$ Intervalle aufgeteilt und jedem Abtastwert $q_{\rm A}(ν · T_{\rm A})$ wird anschließend ein Repräsentant $q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$ des zugehörigen Intervalls (beispielsweise die Intervallmitte) zugewiesen.

Die Grafik verdeutlicht die Quantisierung am Beispiel der Quantisierungsstufenzahl $M =$ 8. Tatsächlich wird für $M$ in der Praxis wegen der anschließenden Binärcodierung stets eine Zweierpotenz gewählt. Jeder der durch Kreise markierten Abtastwerte $q_{\rm A}(ν · T_{\rm A})$ wird durch den dazugehörigen quantisierten Wert $q_0(ν · T_{\rm A})$ ersetzt. Die quantisierten Werte sind als Kreuze eingetragen.

Dieser Vorgang der Wertdiskretisierung ist allerdings mit einer irreversiblen Verfälschung verbunden. Die Verfälschung $ε_ν = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) – q_{\rm A}(ν · T_{\rm A})$ hängt dabei von der Quantisierungsstufenzahl $M$ ab. Es gilt: $$|\varepsilon_{\nu}| < {1}/{2} \cdot2/M \cdot q_{\rm max}= {q_{\rm max}}/{M}\hspace{0.05cm}.$$ Man bezeichnet den quadratischen Mittelwert der Fehlergröße $ε_ν$ als Quantisierungsrauschleistung: $$P_{\rm Q} = \frac{1}{2N+1 } \cdot\sum_{\nu = -N}^{+N}\varepsilon_{\nu}^2 \approx \frac{1}{N \cdot T_{\rm A}} \cdot \int_{0}^{N \cdot T_{\rm A}}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm}\varepsilon(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Berechnung von $P_{\rm Q}$ wird meist die angegebene Näherung der „Spontanquantisierung” verwendet. Wie oben skizziert lässt man dazu die Abtastung außer Betracht und bildet das Fehlersignal aus den beiden zeitkontinuierlichen Signalen $q_{\rm Q}(t)$ und $q(t)$.

Die Quantisierungsrauschleistung hängt auch vom Quellensignal $q(t)$ ab. Unter der Voraussetzung, dass $q(t)$ alle Werte zwischen $±q_{\rm max}$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt und der Quantisierer genau für diesen Bereich ausgelegt ist, ergibt sich (siehe Aufgabe A4.4): $$P_{\rm Q} = \frac{q_{\rm max}^2}{3 \cdot M^2 } \hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Bei einem Sprach– oder Musiksignal können – wenn auch nur sehr selten – beliebig große Amplitudenwerte auftreten. In diesem Fall wird für $q_{\rm max}$ meist derjenige Amplitudenwert herangezogen, der nur zu 1% aller Zeiten (betragsmäßig) überschritten wird.

PCM–Codierung und –Decodierung

Der Block PCM–Codierung dient der Umsetzung der zeitdiskreten (nach Abtastung) und wertdiskreten (nach Quantisierung mit $M$ Stufen) Signalwerte $q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$ in eine Folge von $N = {\rm ld}(M)$ Binärwerte. Hierbei steht „ld” für den Logarithmus zur Basis 2 ⇒ $\rm log_2$” ⇒ Logarithmus dualis.

In der Grafik ist jeder Binärwert (jedes Bit) durch ein Rechteck der Dauer $T_{\rm B} = T_{\rm A}/N$ dargestellt, woraus sich das Signal $q_{\rm C}(t)$ ergibt. Man erkennt:

• Es wird hier der Dualcode verwendet. Das bedeutet, dass die Quantisierungsintervalle $\mu$ von 0 bis $M$–1 durchnummeriert und anschließend in einfacher Binärform geschrieben werden. Mit $M =$ 8 gilt beispielsweise $\mu =$ 6 ⇔ 110.
• Die drei Binärsymbole des codierten Signals $q_{\rm C}(t)$ ergeben sich, wenn man 0 durch L („Low”) und 1 durch H („High”) ersetzt. Im Beispiel erhält man so: HHL HHL LLH LHL HLH LHH.
• Die Bitdauer $T_{\rm B}$ ist hier um den Faktor $N = {\rm ld}(M) =$ 3 kürzer als der Abtastabstand $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$, so dass sich die Bitrate zu $R_{\rm B} = {\rm ld}(M) · f_{\rm A}$ ergibt.
• Verwendet man bei der Decodierung $(υ_{\rm C} ⇒ υ_{\rm Q})$ die gleiche Zuordnung wie bei der Codierung $(q_{\rm Q} ⇒ q_{\rm C})$, so gilt $υ_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, falls es zu keinen Übertragungsfehlern kommt.
• Eine Alternative zum Dualcode ist der Graycode, bei dem sich benachbarte Binärwerte nur in einem Bit unterscheiden, zum Beispiel für $N =$ 3:

$\mu =$ 0: LLL, $\mu =$ 1: LLH, $\mu =$ 2: LHH, $\mu =$ 3: LHL,

$\mu =$ 4: HHL, $\mu =$ 5: HHH, $\mu =$ 6: HLH, $\mu =$ 7: HLL.

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (1)

Das digitale Pulscodemodulation (PCM) wird nun den analogen Modulationsverfahren (AM, FM) hinsichtlich des erreichbaren Sinken–SNR $ρ_υ = P_q/P_ε$ bei AWGN–Rauschen vergleichend gegenüber gestellt. Wie in Kapitel 3.3 bezeichnet $ξ = {α_{\rm K} }^2 · P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$ die Leistungskenngröße. Der Parameter $ξ$ fasst

• den Kanaldämpfungsfaktor $α_{\rm K}$ (quadratisch),
• die Sendeleistung $P_{\rm S}$,
• die AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ sowie
• die Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Analogsignals

zusammen. Bei einer harmonischen Schwingung ist die Bandbreite $B_{\rm NF}$ durch die Frequenz $f_{\rm N}$ zu ersetzen.

Die beiden Vergleichskurven AM (Kapitel 2.3) und FM (Kapitel 3.3) lassen sich wie folgt beschreiben:

• ZSB–AM ohne Träger: $ρ_υ = ξ ⇒$ 10 · lg $ρ_υ =$ 10 · lg $ξ$,
• FM mit Modulationsindex $η =$ 3: $ρ_υ =$ 3/2 $η^2 · ξ =$ 13.5 · $ξ ⇒$ 10 · lg $ρ_υ =$ 10 · lg $ξ$ + 11.3 dB.

Die Kurve für das PCM 30/32–System ist wie folgt zu interpretieren:

• Ist die Leistungskenngröße $ξ$ hinreichend groß, so treten keine Übertragungsfehler auf und das Fehlersignal $ε(t) = υ(t) – q(t)$ ist allein auf die Quantisierung zurückzuführen $(P_ε = P_{\rm Q})$.
• Mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$ gilt dann näherungsweise:

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_\varepsilon}= M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v}=20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}M = N \cdot 6.02\,{\rm dB}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N = 8, \hspace{0.05cm} M =256:\hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v}=48.16\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

• Anzumerken ist, dass die angegebene Gleichung nur für ein sägezahnförmiges Quellensignal exakt gültig ist. Bei cosinusförmigem Quellensignal ist die Abweichung jedoch nicht sehr groß.
• Mit kleiner werdendem $ξ$ (kleinere Sendeleistung oder größere Rauschleistungsdichte) nehmen die Übertragungsfehler zu. Damit wird $P_ε > P_{\rm Q}$ und der Sinken–Störabstand wird kleiner.
• Die PCM (mit $M =$ 256) ist den Analogverfahren (AM und FM) nur im unteren und mittleren $ξ$–Bereich überlegen. Spielen dagegen Übertragungsfehler keine Rolle mehr, so ist durch eine größere Leistungskenngröße keine Verbesserung mehr zu erzielen (horizontaler Kurvenabschnitt).
• Eine Verbesserung bringt dann nur eine Erhöhung von $N$ (Bitanzahl pro Abtastwert) und damit auch die Erhöhung von $M = 2^N$ (Quantisierungsstufenzahl). Beispielsweise erreicht man bei einer Compact Disc mit dem Parameter $N =$ 16 ⇒ $M =$ 65536 den Wert 10 · lg $ρ_υ =$ 96.32 dB.

Hinweis: Die näherungsweise Berechnung des SNR für kleine $ξ$–Werte folgt in den nächsten Abschnitten.

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (2)

Die folgende Grafik zeigt den begrenzenden Einfluss der Quantisierung. Weiß gepunktet eingezeichnet ist das Quellensignal $q(t)$ und grün gepunktet das Sinkensignal $υ(t)$ nach einer PCM mit $N =$ 4 ⇒ $M =$ 16. Die Abtastzeitpunkte sind durch Kreuze markiert. Übertragungsfehler werden vorerst ausgeschlossen und die Abtastung sowie die Signalrekonstruktion sind bestmöglich an das Quellensignal angepasst.

Dieses Bild kann wie folgt interpretiert werden:

• Mit $N =$ 8 ⇒ $M =$ 256 ist das Sinkensignal $υ(t)$ vom Quellensignal $q(t)$ mit dem bloßen Auge nicht zu unterscheiden. Für beide gilt näherungsweise der weiß gepunktete Signalverlauf.
• Am Sinkenstörabstand 10 · lg $ρ_υ =$ 47.8 dB erkennt man aber, dass das Quantisierungsrauschen (Leistung des Fehlersignals) nur etwa um den Faktor $\rm 1.6 · 10^{–5}$ kleiner ist als die Leistung des Quellensignals. Dieses SNR wäre bei einem Sprach– oder Musiksignal schon deutlich hörbar.
• Obwohl das hier betrachtete Quellensignal weder sägezahnförmig noch cosinusförmig verläuft, sondern sich aus mehreren Frequenzanteilen zusammensetzt, weicht die angegebene Näherung $ρ_υ ≈ M_2$ ⇒ 10 · lg $ρ_υ =$ 48.16 dB nur unwesentlich vom tatsächlichen Wert ab.
• Dagegen erkennt man für $N =$ 4 ⇒ $M =$ 16 bereits Abweichungen zwischen dem Sinkensignal (grün markiert) und dem Quellensignal (weiße Markierung), was auch durch den sehr kleinen Störabstand 10 · lg $ρ_υ =$ 28.2 dB quantitativ zum Ausdruck kommt.

Einfluss von Übertragungsfehlern (1)

Ausgehend vom gleichen Analogsignal $q(t)$ (s. letzter Abschnitt) und einer linearen Quantisierung mit $N = 8$ Bit ⇒ $M =$ 256 werden nun die Auswirkungen von Übertragungsfehlern anhand des jeweiligen Sinkensignals $υ(t)$ verdeutlicht.

Die weißen Punkte markieren das Quellensignal $q(t)$. Ohne Übertragungsfehler ist das Sinkensignal $υ(t)$ bei Vernachlässigung der Quantisierung genau so groß. Nun wird jeweils genau ein Bit des 5. Abtastwertes $q(5 · T_{\rm A}) =$ –0.715 verfälscht, wobei dieser Abtastwert mit LLHLLHLL codiert wurde. Dieser Grafik zugrunde liegt der Dualcode, das heißt, dass das unterste Quantisierungsintervall $(\mu = 0)$ mit LLLL LLLL und das oberste Intervall $(\mu = 255)$ mit HHHH HHHH dargestellt wird.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse dieser Untersuchung. Der angegebene Störabstand 10 · lg $ρ_υ$ wurde aus dem dargestellten (sehr kurzen) Signalausschnitt der Dauer 10 · $T_{\rm A}$ berechnet. Bei jeweils einem Fehler bei der Übertragung von 10 · 8 = 80 Bit entspricht dies einer Bitfehlerrate von 1.25%.

Einfluss von Übertragungsfehlern (2)

Die in der Grafik und der Tabelle dargestellten Ergebnisse dieser Fehleranalyse (siehe unten) können wie folgt zusammengefasst werden:

• Wird nur das letzte Bit des Binärwortes verfälscht (LSB: Least Significant Bit, LLHLLHLL ⇒ LLHLLHLH), so ist mit dem bloßen Auge kein Unterschied zur fehlerfreien Übertragung zu erkennen (weißer Kurvenzug). Trotzdem wird der Störabstand um 3.5 dB vermindert.
• Ein Übertragungsfehler des viertletzten Bits (grüne Kurve, LLHLLHLL ⇒ LLHLHHLL) führt bereits zu einer deutlich erkennbaren Verfälschung um 8 Quantisierungsintervalle. Das heißt: $υ(5T_{\rm A}) – \ q(5T_{\rm A}) =$ 8/256 · 2 $=$ 0.0625 und der Störabstand sinkt auf 10 · lg $ρ_{\rm υ} =$ 28.2 dB.
• Die rote Kurve zeigt schließlich den Fall, dass das MSB (Most Significant Bit) verfälscht wird: LLHLLHLL ⇒ HLHLLHLL. Dies führt zur Verfälschung $υ(5T_{\rm A}) – q(5T_{\rm A}) =$ 1 (was dem halben Aussteuerbereich entspricht). Der Störabstand beträgt nun nur mehr etwa 4 dB.
• Zu allen Abtastzeitpunkten mit Ausnahme von $5T_{\rm A}$ stimmt $υ(t)$ bis auf den Quantisierungsfehler mit $q(t)$ exakt überein. Außerhalb der durch gelbe Kreuze markierten Zeitpunkte führt der eine Fehler bei $5T_{\rm A}$ in einem ausgedehnten Bereich zu starken Abweichungen, was auf die Interpolation mit der si–förmigen Impulsantwort des Rekonstruktionstiefpasses $H(f)$ zurückzuführen ist.

Einfluss von Übertragungsfehlern (3)

Nun soll versucht werden, die SNR–Kurve des PCM–Systems unter Berücksichtigung von Bitfehlern zumindest näherungsweise zu bestimmen. Wir gehen dabei vom folgenden Blockschaltbild aus und setzen weiter voraus:

• Jeder Abtastwert $q_{\rm A}(νT)$ wird mit $M$ Stufen quantisiert und mit $N = {\rm ld} (M)$ Binärzeichen (Bit) dargestellt. Im Beispiel gilt $M =$ 8 ⇒ $N =$ 3.
• Die Binärdarstellung von $q_{\rm Q}(νT)$ liefert die Amplitudenkoeffizienten $a_k (k = 1, ..., N),$ die durch Bitfehler in die Koeffizienten $b_k$ verfälscht werden können. Sowohl $a_k$ als auch $b_k$ sind ±1.
• Ein Bitfehler $(b_k ≠ a_k)$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ auf. Jedes Bit wird gleichwahrscheinlich verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler (nur eines der $N$ Bits kann falsch sein).

Aus dem unteren Diagramm ist für $N =$ 3 und die natürliche Binärcodierung (Dualcode) zu erkennen:

• Eine Verfälschung des Koeffizenten $a_1$ verändert den quantisierten Wert $q_{\rm Q}(νT)$ um $±A$.
• Eine Verfälschung des Koeffizenten $a_2$ verändert den quantisierten Wert $q_{\rm Q}(νT)$ um $±A/2.$
• Eine Verfälschung des Koeffizenten $a_3$ verändert den quantisierten Wert $q_{\rm Q}(νT)$ um $±A/4$.

Durch Verallgemeinerung erhält man für die Abweichung $ε_k = υ_{\rm Q}(νT) – q_{\rm Q}(νT)$ unter der Voraussetzung, dass der Amplitudenkoeffizient $a_k$ falsch übertragen wurde: $$\varepsilon_k = - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1} \hspace{0.05cm}.$$

Nachfolgend wird hieraus die so genannte Fehlerrauschleistung $P_{\rm F} = E[{ε_k}^2]$ berechnet.