Aufgaben:Exercise 1.5Z: Probabilities of Default

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Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B1, B2,…, Bn$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen angenommen werden kann. Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind. Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_A$ ausfallen.

Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden: $$ G = T_1 \cup T_2 $$

Das heißt: Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.3. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Fragebogen

1

Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_G$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als 0.04%. Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_T$ der zwei parallel vorhandenen Geräteteile höchstens sein?

$p_\text{T,max}$ =

2

Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_A = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_T$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.

$p_T$ =

3

Welcher Wert ergibt sich für $p_A = 0.01$? In welcher Form kann man $p_T$ für kleine Werte von $p_A$ annähern?

$p_T$ =

4

Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_A = 0.4%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_T ≤ 2%$ gelten soll?

$n$ =

Musterlösung

Solution

1.  Da die beiden Teilgeräte unabhängig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:

$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$

Da die Teilgeräte T₁ und T₂ baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p_T aus. Daraus folgt:

$$\rm \it p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.02}.$$

2.  Dieses Ergebnis ist einfacher über das Komplementärereignis zu bestimmen:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$

$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$

3.  Mit p_A = 0.01 erhält man p_T = 0.0297. Allgemein gilt die Näherung: p_T ≈ n · p_A (= 3%).

4.  Mit der Näherung aus (c) folgt direkt n = 5. Bei größerem p_A müsste man wie folgt vorgehen:

$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Longrightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$