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:Wie in Aufgabe A3.1 und Aufgabe A3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von &ndash;2 bis +2 beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
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Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
:$$f_x(x)=\rm \frac{1}{2}\cdot cos^2({\pi}/{4}\cdot {\it x}).$$
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$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
  
:Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i>, die nur Werte zwischen 0 und 2 mit folgender WDF liefert:
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Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
:$$f_y(y)=\rm sin^2({\pi}/{2}\cdot \it y).$$
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$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$
  
:Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik abgebildet.
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Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt. Au&szlig;erhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ &nbsp; bzw. &nbsp; $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ &nbsp; bzw. &nbsp;  $f_y(y) = 0$.  
  
:Au&szlig;erhalb der Bereiche &ndash;2 < <i>x</i> < +2 bzw. 0 < <i>y</i> < 2 gilt jeweils <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) = 0 bzw. <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) = 0. Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale <i>x</i>(<i>t</i>) bzw. <i>y</i>(<i>t</i>) aufgefasst werden k&ouml;nnen.
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Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden k&ouml;nnen.
  
:<b>Hinweis</b>: Die Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Inhalt von Kapitel 3.3. F&uuml;r die L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
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:$$\int x^{\rm 2}\cdot {\rm cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2\it x}{\it a^{\rm 2}}\cdot \rm cos(\it ax)+(\frac{\it x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}})\cdot \rm sin(\it ax) .$$
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*F&uuml;r die L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
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:$$x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+\frac({x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}})\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$
  
  
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<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) für <i>m</i><sub>1</sub>: linearer Mittelwert, <i>m</i><sub>2</sub>: quadratischer Mittelwert und <i>&sigma;</i><sup>2</sup>: Varianz zu?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?
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<br>Verwendet sind folgende Größen: &nbsp; $m_1$: linearer Mittelwert, $m_2$: quadratischer Mittelwert, $\sigma^2$: Varianz.
 
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- <i>m</i><sub>2</sub> = 0,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls <i>m</i><sub>1</sub> &ne; 0.
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- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
- <i>m</i><sub>2</sub> = 0,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls <i>m</i><sub>1</sub> = 0.
+
- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 = 0$.
+ <i>m</i><sub>1</sub> = 0,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls <i>m</i><sub>2</sub> = 0.
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+ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_2 = 0$.
+ <i>m</i><sub>2</sub> > <i>&sigma;</i><sup>2</sup>,&nbsp;&nbsp;falls <i>m</i><sub>1</sub> &ne; 0.
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+ $m_2 > \sigma^2$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
+ <i>m</i><sub>1</sub> = 0,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls <i>f</i><sub>x</sub>(&ndash;<i>x</i>) = <i>f</i><sub>x</sub>(<i>x</i>).
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+ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
- <i>f</i><sub>x</sub>(&ndash;<i>x</i>) = <i>f</i><sub>x</sub>(<i>x</i>),&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls <i>m</i><sub>1</sub> = 0.
+
- $f_x(-x) = f_x(x)$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 = 0$.
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals <i>x</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?
 
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$m_x$ = { 0 3% }
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$m_x \ = $ { 0. }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals <i>x</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?
 
|type="{}"}
 
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$\sigma_x$ = { 0.722 3% }
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$\sigma_x \ = $ { 0.722 3% }
  
  
{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> lässt sich aus <i>x</i> ableiten. Welche Zuordnung gilt?
+
{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ lässt sich aus $x$ ableiten. Welche Zuordnung gilt?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ <i>y</i> = 1 + <i>x</i>/2
+
+ $y = 1+x/2.$
- <i>y</i> = 2<i>x</i>
+
- $y = 2x.$
- <i>y</i> = <i>x</i>/2&ndash;1
+
- $y = x/2-1.$
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals <i>y</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$m-y$ = { 1 3% }
+
$m_y\ = $   { 1 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals <i>y</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\sigma_y$ = { 0.361 3% }
+
$\sigma_y\ = $ { 0.361 3% }
  
  

Revision as of 15:38, 9 March 2017

Momente bei Cosinus-Quadrat-WDF

Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt: $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert: $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$

Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt. Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$   bzw.   $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$   bzw.   $f_y(y) = 0$.

Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgrößen als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden können.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
$$x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+\frac({x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}})\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?
Verwendet sind folgende Größen:   $m_1$: linearer Mittelwert, $m_2$: quadratischer Mittelwert, $\sigma^2$: Varianz.

$m_2 = 0$,   falls $m_1 \ne 0$.
$m_2 = 0$,   falls $m_1 = 0$.
$m_1 = 0$,   falls $m_2 = 0$.
$m_2 > \sigma^2$,   falls $m_1 \ne 0$.
$m_1 = 0$,   falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
$f_x(-x) = f_x(x)$,   falls $m_1 = 0$.

2

Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?

$m_x \ = $

3

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?

$\sigma_x \ = $

4

Die Zufallsgröße $y$ lässt sich aus $x$ ableiten. Welche Zuordnung gilt?

$y = 1+x/2.$
$y = 2x.$
$y = x/2-1.$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?

$m_y\ = $

6

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?

$\sigma_y\ = $


Musterlösung

1.  Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5. Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist. Die zweite Aussage gilt nur in dem einen Sonderfall x = 0. Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
2.  Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich x = 0 ergibt sich für den linearen Mittelwert mx = 0.
3.  Der Effektivwert des Signals x(t) ist gleich der Streuung σx bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz σx2. Da die Zufallsgröße x den Mittelwert mx = 0 aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf 1 Ω) bezeichnet. Somit gilt:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\cdot \rm cos^2(\frac{\pi}{\rm 4}\cdot\it x)\it\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
Mit der Beziehung cos²(α) = 0.5 · (1 + cos(2α)) folgt daraus:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\it \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\rm\cdot cos(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it x)\it \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen (bzw. auf dem Angabenblatt). Man erhält mit a = π/2:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\rm cos}(a \cdot \it x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac[[:Template:\rm 1]]{a^{\rm3}} \right){\rm sin}(a \cdot \it x)\right]_{x=0}^{x=2}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
4.  Richtig ist der erstgenannte Vorschlag. Die Variante y = 2x würde eine zwischen -4 und +4 verteilte Zufallsgröße liefern. Beim letzten Vorschlag wäre der Mittelwert my = –1.
5.  Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass my = 1 gilt.
6.  Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor 2 wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe c) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$