Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.6: Noisy DC Signal"
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− | + | Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert. | |
− | + | *Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals $x(t)=s(t)+n(t).$ | |
+ | *Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz WDF) des Signals $x(t)$ ist im unteren Bild dargestellt. | ||
+ | Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. | ||
− | + | Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion: | |
+ | :$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$ | ||
− | : | + | ''Hinweise:'' |
− | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]]. | |
− | + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | |
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− | { Welche der | + | { Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? |
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− | - Das Nutzsignal | + | - Das Nutzsignal $s(t)$ ist gleichverteilt. |
− | + Das Rauschsignal | + | + Das Rauschsignal $n(t)$ ist gaußverteilt. |
− | - Das Rauschsignal | + | - Das Rauschsignal $n(t)$ hat einen Mittelwert $m_n \ne 0$. |
− | + Das Gesamtsignal | + | + Das Gesamtsignal $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$. |
− | {Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals | + | {Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\sigma_x$ | + | $\sigma_x \ = $ { 1 3% } $\ \rm V$ |
− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $Pr(x < 0 V)$ | + | ${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = $ { 2.27 3% } $\ \%$ |
− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $Pr(x > 4 V)$ | + | ${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = $ { 2.27 3% } $\ \%$ |
− | {Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt | + | {Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $Pr(3 V < x < 4 V)$ | + | ${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = $ { 13.6 3% } $\ \%$ |
Revision as of 13:39, 13 March 2017
Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.
- Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals $x(t)=s(t)+n(t).$
- Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz WDF) des Signals $x(t)$ ist im unteren Bild dargestellt.
Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.
Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:
- $$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgröße.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Das Gleichsignal s(t) ist natürlich nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei 2 V mit Gewicht 1. Das Signal n(t) ist gaußverteilt und mittelwertfrei. Deshalb ist auch das Summensignal x(t) gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert mx = 2 V. Dieser rührt allein vom Gleichsignal s(t) = 2 V her. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 4.
- 2. Nach dem Satz von Steiner gilt:
- $$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$
- Der quadratische Mittelwert ist gleich der (auf 1 Ω bezogenen) Gesamtleistung Px = 5 V2. Mit dem Mittelwert mx = 2 V folgt daraus für die Streuung: σx = 1 V.
- 3. Die Verteilungsfunktion (VTF) einer gaußverteilten Zufallsgröße mit Mittelwert mx und Streuung σx lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:
- $$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}).$$
- Die Verteilungsfunktion an der Stelle r = 0 V ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass x kleiner oder gleich 0 V ist. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch Pr(x ≤ r) = Pr(x < r). Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:
- $$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
- 4. Wegen der Symmetrie um den Wert 2V ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 2.27%.
- 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass x(t) größer ist als 3V, ergibt sich zu
- $$\rm Pr(\it x > \rm 3\,V) =\rm 1- \it F_x(\frac{\rm 3\,V-2\,V}{\rm 1V})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$
- Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:
- $$\rm Pr(\rm 3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V).$$
- Dies liefert den Zahlenwert 0.1587 - 0.0227 = 13.6%.