Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.1Z: Distortion and Equalisation"
From LNTwww
m (Markus verschob die Seite Zusatzaufgaben:2.1 Verzerrung und Entzerrung nach 2.1Z Verzerrung und Entzerrung, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen) |
|||
| Line 3: | Line 3: | ||
}} | }} | ||
| − | [[File:P_ID880__LZI_Z_2_1.png|right|]] | + | [[File:P_ID880__LZI_Z_2_1.png|right|Kontinuierliche Spektralfunktionen]] |
| − | + | Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen: | |
| − | + | * ein cos<sup>2</sup>–Spektrum, das nur Anteile im Bereich $|f| < 1 \ \rm kHz$ besitzt, wobei gilt: | |
| − | :$$A(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) | + | :$$A(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$ |
| − | |||
| − | + | * ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$: | |
| − | :$$B(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right) | + | :$$B(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$ |
| − | |||
| − | + | * ein so genanntes Gaußspektrum: | |
:$$C(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$ | :$$C(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$ | ||
| − | + | Weiterhin betrachten wir | |
| + | *ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie | ||
| + | *das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit dem Eingangsspektrum $Y(f)$ und dem Ausgangsspektrum $Z(f)$. | ||
| − | |||
| − | : | + | Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten: |
| + | :$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | : | + | ''Hinweise:'' |
| + | *Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]]. | ||
| + | *Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| Line 32: | Line 33: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Ist mit einem linearen System die Konstellation | + | {Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = B(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Ja. | + Ja. | ||
| Line 38: | Line 39: | ||
| − | {Es gelte weiterhin | + | {Es gelte weiterhin $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter $H_{\rm E}(f)$ eine vollständige Entzerrung möglich? Wenn JA, so geben Sie bitte $H_{\rm E}(f)$ an. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Ja. | + Ja. | ||
| Line 44: | Line 45: | ||
| − | {Ist mit einem linearen System die Konstellation | + | {Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = C(f)$ und $Y(f) = B(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Ja. | + Ja. | ||
| Line 50: | Line 51: | ||
| − | {Es gelte weiterhin | + | {Es gelte weiterhin $X(f) = C(f)$ und $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter $H_{\rm E}(f)$ eine vollständige Entzerrung möglich? Wenn JA, so geben Sie bitte $H_{\rm E}(f)$ an. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- Ja. | - Ja. | ||
| Line 56: | Line 57: | ||
| − | {Ist mit einem linearen System die Konstellation | + | {Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = C(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- Ja. | - Ja. | ||
+ Nein. | + Nein. | ||
| − | |||
| − | |||
</quiz> | </quiz> | ||
Revision as of 11:48, 1 February 2017
Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:
- ein cos2–Spektrum, das nur Anteile im Bereich $|f| < 1 \ \rm kHz$ besitzt, wobei gilt:
- $$A(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$
- ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$:
- $$B(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$
- ein so genanntes Gaußspektrum:
- $$C(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$
Weiterhin betrachten wir
- ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie
- das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit dem Eingangsspektrum $Y(f)$ und dem Ausgangsspektrum $Z(f)$.
Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten:
- $$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Klassifizierung der Verzerrungen.
- Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Diese Konstellation ist möglich, da für alle Y(f) ≠ 0 auch X(f) stets von 0 verschieden ist. Für alle Frequenzen kleiner als 0.5 kHz bewirkt HV(f) = B(f)/A(f) < 1 eine Dämpfung, während die Frequenzen zwischen 0.5 kHz und 1 kHz durch das System angehoben werden ⇒ Ja.
- 2. Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit
- $$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$
- möglich, da beide Spektren genau bis 1 kHz reichen ⇒ Ja.
- 3. Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter HV(f) muss für die Frequenzen |f| < 1 kHz aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen |f| > 1 kHz unterdrücken ⇒ Ja.
- 4. Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich. Die Anteile des Gaußspektrums, die durch HV(f) vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden ⇒ Nein.
- 5. Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum C(f) = A(f) · HV(f) keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in A(f) nicht gibt ⇒ Nein.
- Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem cos2–Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss so auch nicht beantwortet werden: Die Autoren glauben eher „Nein”.
