Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.5Z: Application of the Residue Theorem"
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| + | *$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$, | ||
| + | *$N$> Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie | ||
| + | *die Konstante $K$. | ||
| − | + | Betrachtet werden in dieser Aufgabe die in der Grafik dargestellten Konfigurationen, wobei stets K=2 gilt. | |
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| + | Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden. In diesem Fall gilt | ||
| + | $$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{ | ||
Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p | Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p | ||
\hspace{0.05cm}t} | \hspace{0.05cm}t} | ||
\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right | \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right | ||
\} \hspace{0.05cm},$$ | \} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| − | + | wobei $I$ die Anzahl der unterscheidbaren Pole angibt. Bei allen hier vorgegebenen Konstellationen gilt stets $I = N$. | |
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| − | :Die komplexe Frequenz | + | ''Hinweise:'' |
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| + | *Ist das Zeitsignal y(t) komplex, so kann YL(p) nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber auch in diesem Fall möglich. | ||
| + | *Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm ox}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos. | ||
Revision as of 18:16, 10 February 2017
Die Spektralfunktion YL(p) sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch
- Z Nullstellen poi,
- N> Pole pxi, sowie
- die Konstante K.
Betrachtet werden in dieser Aufgabe die in der Grafik dargestellten Konfigurationen, wobei stets K=2 gilt.
Für den Fall, dass die Anzahl Z der Nullstellen kleiner als die Anzahl N der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal y(t) durch Anwendung des Residuensatzes direkt ermittelt werden. In diesem Fall gilt y(t)=I∑i=1{YL(p)⋅(p−pxi)⋅ept|p=pxi}, wobei I die Anzahl der unterscheidbaren Pole angibt. Bei allen hier vorgegebenen Konstellationen gilt stets I=N.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Ist das Zeitsignal y(t) komplex, so kann YL(p) nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber auch in diesem Fall möglich.
- Die komplexe Frequenz p, die Nullstellen poi sowie die Pole poxi beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit t dimensionslos.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss Z < N gelten. Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen B, D und F nicht gegeben. Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration B mit px = –1:
- YL(p)=pp+1=1−1p+1.
- 2. Mit YL(p) = 2/(p + 1) ergibt sich aus dem Residuensatz (I = 1):
- y(t)=2⋅ept|p=−1=2⋅e−t⇒y(t=1)=2e≈0.736(reinreell)_.
- 3. Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe b) erhält man nun:
- y(t)=2⋅e−(0.2+j⋅1.5π)⋅t=2⋅e−0.2⋅t⋅e−j⋅1.5π⋅t.
- Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für t = 1 gilt:
- y(t=1)=2⋅e−0.2⋅[cos(1.5π)+j⋅sin(1.5π)]=−j⋅1.638
- ⇒Re{y(t=1)}=0_,Im{y(t=1)}=−1.638_.
- Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei px = –0.2 + j · 1.5 π. Rechts daneben sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal, wenn der Pol bei px = –0.2 – j · 1.5 π liegt.
- 4. Nun gilt I = 2. Die Residien von px1 bzw. px2 liefern:
- y1(t)=K⋅(p−px1)(p−px1)(p−px2)⋅ept|p=px1=Kpx1−px2⋅epx1t,y2(t)=Kpx2−px1⋅epx2t=−Kpx1−px2⋅e−px1t
- ⇒y(t)=y1(t)+y2(t)=2⋅e−0.2⋅tj⋅3π⋅[cos(.)+j⋅sin(.)−cos(.)+j⋅sin(.)]==43π⋅e−0.2⋅t⋅sin(1.5π⋅t)⇒y(t=1)=−43π⋅e−0.2⋅t=−0.347_.
- Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf y(t) für die Konfiguration E.
