Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.4Z: Sum of Ternary Quantities"
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Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | ||
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| − | $Pr(s>0)$ | + | ${\rm Pr}(s>0) \ = $ { 0.4444 3% } |
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| − | $Pr | + | ${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$ { 0.3333 3% } |
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| − | $Pr(x>0|s>0)$ | + | ${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$ { 0.75 3% } |
| − | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe s positiv ist, wenn die Eingangsgröße x > 0 ist: | + | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist: |
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| − | $Pr(s>0|x>0)$ | + | ${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$ { 1 } |
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Revision as of 14:32, 22 February 2017
Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
- $x ∈ {–2, 0, +2}$,
- $y ∈ {–1, 0, +1}$.
Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.
Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:
\( s \in \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}.\)
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
Fragebogen
Musterlösung
- In der nebenstehenden Grafik sind die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet, während die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt sind. Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.
1. Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:- $$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
- 2. Hier gilt folgender Sachverhalt:
$$\rm Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ) = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$
- 3. Mit den Ergebnissen aus (a) und (b) folgt:
- $$\rm Pr(\it x > \rm 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} \it s > \rm 0) = \frac{{\rm Pr} ((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
- 4. Analog zur Teilfrage (c) gilt nun:
- $$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$
