Aufgaben:Exercise 3.5Z: Kullback-Leibler Distance again: Difference between revisions

Revision as of 20:39, 24 November 2016

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$P_Y(X) = [\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm}]\hspace{0.05cm}$$ Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet

durch den Symbolumfang $M=4$,
mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.

Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$. Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallswerte ausgewertet wurden. Das heißt: $P_Y(1)$,...,$P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr relative Häufigkeiten.

Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000$) ird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:

$$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.272\hspace{0.05cm}] \hspace{0.05cm}$$ Bei dieser Schreibweise ist bereits berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X =$ {1, 2, 3, 4} basieren.

Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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 }}
-[[File:|right|]]
+[[File:P_ID2762__Inf_Z_3_4.png|right|]]
+Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
+$$P_Y(X) = [\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm}]\hspace{0.05cm}$$
+Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet
+:* durch den Symbolumfang $M=4$,
+:* mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.
+Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$. Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallswerte ausgewertet wurden. Das heißt:
+$P_Y(1)$,...,$P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeit_und_relative_H%C3%A4ufigkeit#Bernoullisches_Gesetz_der_gro.C3.9Fen_Zahlen relative Häufigkeiten].
+Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit  $N=1000$) ird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:
+$$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.272\hspace{0.05cm}]
+\hspace{0.05cm}$$
+Bei dieser Schreibweise ist bereits berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X =$ {1, 2, 3, 4} basieren.
+Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :

	Falsch
	Richtig