Aufgaben:Exercise 2.11: Arithmetic Coding

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Die arithmetische Codierung ist eine spezielle Form der Entropiecodierung: Auch hier müssen die Symbolwahrscheinlichkeiten bekannt sein. In dieser Aufgabe gehen wir von $M = 3$ Symbolen aus, die wir mit X, Y, Z benennen.

Während die Huffman–Codierung symbolweise erfolgt, wird bei der Arithmetischen Codierung (AC) eine Symbolfolge der Länge $N$ gemeinsam codiert. Das Codierergebnis ist ein reeller Zahlenwert $r$ aus dem Intervall

$$I = [B, E) = [B, B +{\it \Delta} )\hspace{0.05cm}.$$

Diese Notation bedeutet:

• Der Beginn $B$ gehört zum Intervall $I$.
• Das Ende $E$ ist nicht mehr in $I$ enthalten.
• Die Intervallbreite ist ${\it} \Delta = E - B$.

Von den unendlich vielen möglichen Werten $r \in I$ (da $r$ reellwertig ist, also kein Integer) wird derjenige Zahlenwert ausgewählt, der mit der geringsten Bitanzahl auskommt. Hierzu zwei Beispiele zur Verdeutlichung:

• Der Dezimalwert $r = 3/4$ lässt sich mit zwei Bit darstellen:

$$r = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0.75 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:}\hspace{0.15cm} 0.11\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text {Code:} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 11} \hspace{0.05cm},$$

• Der Dezimalwert $r = 1/3$ benötigt dagegen unendlich viele Bit:

$$r = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 0 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} + \hspace{0.05cm}... $$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:} \hspace{0.15cm}0.011101\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Code:} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 011101} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf die Bestimmung des aktuellen Intervalls $I$, gekennzeichnet durch den Beginn $B$ sowie dem Ende $E$ bzw. der Breite $\Delta$. Diese Bestimmung geschieht entsprechend der Intervallschachtelung in obiger Grafik. An der Schraffierung ist zu erkennen, dass die Folge mit den Ternärsymbolen XXY beginnt.

Der Algorithmus funktioniert wie folgt:

• Vor Beginn (quasi beim nullten Symbol) wird der gesamte Wahrscheinlichkeitsbereich nach den Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm X}$, $p_{\rm Y}$ und $p_{\rm Z}$ in drei Bereiche unterteilt. Die Grenzen liegen bei

$$B_0 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_0 = p_{\rm X}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}D_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} E_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}+ p_{\rm Z} = 1\hspace{0.05cm}.$$

• Das erste Symbol der zu codierenden Folge ist X  ⇒  das ausgewählte Intervall wird durch $B_0$ und $C_0$ begrenzt. Dieses Intervall wird mit neuem Beginn $B_1 = B_0$ und neuem Ende $E_1 = C_0$ in gleicher Weise aufgeteilt wie der Gesamtbereich im nullten Schritt. Die Zwischenwerte sind $C_1$ und $D_1$.
• Die weitere Intervall–Aufteilung ist Ihre Aufgabe. Beispielsweise sollen in der Teilaufgabe (2) die Grenzen $B_2$, $C_2$, $D_2$ und $E_2$ für das zweite Symbol X ermittelt werden und in der Teilaufgabe (3) entsprechend die Grenzen $B_3$, $C_3$, $D_3$ und $E_3$ für das dritte Symbol Y.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Quellencodierverfahren.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Der Shannon-Fano-Algorithmus.
• Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul Shannon–Fano– und Huffman–Codierung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite 2a und die Seite 2b in Kapitel 2.4. Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in Aufgabe A2.12 behandelt.

Fragebogen

1

Welche Wahrscheinlichkeiten sind der Grafik zugrundegelegt?

$p_X$ =

$p_Y$ =

$p_Z$ =

2

Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des zweiten Symbols?

2. Symbol ist „X”: $B_2$ =

$C_2$ =

$D_2$ =

$E_2$ =

3

Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des dritten Symbols?

3. Symbol ist „Y”: $B_3$ =

$C_3$ =

$D_3$ =

$E_3$ =

4

Nach der Codierung des vierten Symbols ist B₄ = 0.343. Was folgt daraus?

	Das vierte Symbol war X.
	Das vierte Symbol war Y.
	Das vierte Symbol war Z.

5

Nach weiteren Symbolen wird das Ergebnisintervall durch B₇ = 0.3564456 und E₇ = 0.359807 begrenzt. Welche Aussagen treffen zu?

	Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet XXYXXZX.
	Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet XXYXXXZ.
	Die Breite des resultierenden Intervalls ist Δ = pX5 · pY · pZ.

6

Welche reellen Zahlen (in Binärform) fallen in das ausgewählte Intervall?

	r1 = (0.101100)binär
	r2 = (0.010111)binär
	r3 = (0.001011)binär

Musterlösung

Solution

1.  Aus der Grafik auf der Angabenseite kann man die Wahrscheinlichkeiten ablesen:

$$p_{\rm X} = 0.7\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm Y} = 0.1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm Z} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$

2.  Auch das zweite Symbol ist X. Bei gleichem Vorgehen wie in der Aufgabenbeschreibung erhält man

$$B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_2 = 0.49 \cdot 0.7 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},$$

$$D_2 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.392}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_2 = C_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.49} \hspace{0.05cm}.$$

3.  Aufgrund von Y als drittes Symbol gelten nun die Begrenzungen B₃ = C₂ und E₃ = D₂:

$$B_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.3773}\hspace{0.05cm},$$

$$D_3 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.3822}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.392} \hspace{0.05cm}.$$

4.  Aus B₄ = 0.343 = B₃ (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte zu codierende Quellensymbol ein X war ⇒ Lösungsvorschlag 1.

5.  Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen.

• Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt: XXYXXXZ.

• Die Intervallbreite Δ kann wirklich gemäß dem Lösungsvorschlag 3 ermittelt werden:

$${\it \Delta} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} 0.359807 - 0.3564456 = 0.003614 \hspace{0.05cm},\\ {\it \Delta} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z} = 0.7^5 \cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.003614 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3.

6.  Der Vorschlag 1: (0.101100)_binär ist auszuschließen, da der zugehörige Dezimalwert r₁ > 0.5 ist. Auch der letzte Lösungsvorschlag ist falsch, da (0.001011)_binär < (0.01)_binär = 0.25_dezimal gilt.

Richtig ist der Lösungsvorschlag 2: (0.010111)_binär, wegen:

$$r_2 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 0 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} = 0.359375\hspace{0.05cm}.$$