Digital Signal Transmission/Optimization of Baseband Transmission Systems

1. Digital Signal Transmission
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Optimization of Baseband Transmission Systems

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Voraussetzungen und Optimierungskriterium

Für dieses Kapitel 1.4 gilt das folgende Blockschaltbild:



Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei; mehrstufige und/oder codierte Systeme werden im Kapitel 2 behandelt. Der Abstand aufeinander folgender Symbole beträgt T. Die (äquivalente) Bitrate ist bei den hier getroffenen Voraussetzungen gleich R = 1/T.
  
• Der Sendegrundimpuls g_s(t) ist rechteckförmig und weist die Amplitude s₀ sowie die Impulsdauer T_S ≤ T auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer T_S mit der Symboldauer T überein, so spricht man von NRZ–Rechteckimpulsen. Im Fall T_S/T < 1 liegt ein RZ–Format vor.
  
• Als Übertragungskanal wird das AWGN–Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte N₀ verwendet, so dass für das Empfangssignal r(t) = s(t) + n(t) gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit N₀/2.
  
• Die Impulsantwort h_E(t) des Empfangsfilters ist ebenfalls rechteckförmig, allerdings mit der Höhe 1/T_E und der Breite T_E. Daraus folgt für den Gleichsignalübertragungsfaktor H_E(f = 0) = 1. Nur im Sonderfall T_E = T_S kann man H_E(f) als Matched–Filter bezeichnen.
  
• Um Impulsinterferenzen auszuschließen, muss bei der Optimierung der beiden Systemparameter T_S bzw. T_E stets die Randbedingung T_S + T_E ≤ 2T eingehalten werden. Impulsinterferenzen werden erst im Kapitel 3 Please add link betrachtet.
  
• Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle E = 0 und optimalen Detektionszeitpunkten (bei νT) verwendet.
  
  

Unter Systemoptimierung verstehen wir hier, die Parameter T_S und T_E von Sendegrundimpuls und Empfangsfilter–Impulsantwort so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den kleinstmöglichen Wert annimmt.

Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (1)

Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung Leistungsbegrenzung oder Spitzenwertbegrenzung des Sendesignals gefordert wird.

: Unter Leistungsbegrenzung versteht man, dass die (mittlere) Sendeleistung P_S einen vorgegebenen Maximalwert P_{S, max} nicht überschreiten darf:

\[P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.\] Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung P_S im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets

P_S = P_{S, max} gesetzt.

Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als „Elektrosmog” bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt.
Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im Kapitel 4 dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.

: Spitzenwertbegrenzung spricht man immer dann, wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist. Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:

\[|s(t)| \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}{\rm alle}\hspace{0.15cm}t.\] Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff

Amplitudenbegrenzung, der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.

Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt, aber nicht die mittlere, sondern die Spitzenleistung. Die Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn

• der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder
  
• die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen gewissen Wert nicht überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.
  

Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (2)

: Sendegrundimpuls g_s(t) und Empfangsfilter–Impulsantwort h_E(t) seien rechteckförmig. Die Amplitude g₀ des Ausgangsimpulses stimmt stets mit der Eingangsimpulsamplitude s₀ überein.

• Beim System A (T_S = T, T_E = T) handelt es sich um die Matched–Filter–Realisierung mit NRZ–Rechteckimpulsen.
  
  
  
  

Die Rauschleistung ist σ_d² = N₀/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s₀² · T = E_B („Energie pro Bit”) wie folgt:

\[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]

• Beim System B (T_S = T, T_E = T/2) ist das Empfangsfilter h_E(t) nicht an den Sendegrundimpuls g_s(t) angepasst. Deshalb ergibt sich ein trapezförmiger Detektionsgrundimpuls g_d(t):
  
  

Die Rauschleistung ist σ_d² = N₀/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s₀² · T = E_B („Energie pro Bit”) wie folgt:

\[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]

• Beim System C (T_S = T/2, T_E = T/2) ist wie bei System A die Matched–Filter–Bedingung erfüllt, allerdings bei RZ–Rechteckimpulsen mit dem Tastverhältnis 1/2.
  
  

Die Rauschleistung ist so groß wie bei System B  ⇒  σ_d² = N₀/T. Bei der zweiten Gleichung ist berücksichtigt, dass die Energie pro Bit jetzt nur noch halb so groß ist  ⇒  E_B = 1/2 · s₀² · T:

\[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]

Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (3)

: Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B in Abhängigkeit vom Verhältnis E_B/N₀ (linkes Diagramm) bzw. als Funktion von s₀² · T/N₀ (rechtes Diagramm). Es handelt sich dabei um die Interpretation der oben hergeleiteten Ergebnisse.

Diese beiden Diagramme in doppelt–logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:

• Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung (P_s) bzw. bei konstanter Energie pro Bit (E_B). Da der Abszissenwert zusätzlich auf N₀ bezogen ist, gibt p_B(E_B/N₀) den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten (N₀) richtig wieder.
  
• Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen A und C gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn g_s(t) und h_E(t) formgleich sind (Matched–Filter). Die kleinere Leistung von System C wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.
  
• Dagegen wird bei System B die Matched–Filter–Bedingung nicht eingehalten (T_E ≠ T_S) und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um 3 dB rechts von der durch die Systeme A und C vorgegebenen Grenzkurve.
  
• Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug A (NRZ–Impuls, Matched–Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.
  
• Die Kurve B in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ–Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von 3 dB zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched–Filter–Bedingung zurückzuführen.
  
• Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched–Filter–System C um 3 dB rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System C nur die halbe mittlere Leistung wie das System A bereitstellt.
  

Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (1)

Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit
\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}\]
kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion Q(x) auf die Maximierung des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses vor dem Schwellenwertentscheider (Detektions–SNR) zurückgeführt werden:
\[\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei steht g₀ als Abkürzung für g_d(t = 0). Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass

• der Detektionsgrundimpuls g_d(t) = g_s(t) ∗ h_E(t) das erste Nyquistkriterium erfüllt, und
  
• die Energie des Sendegrundimpulses g_s(t) einen vorgegebenen Wert E_B nicht überschreitet.
  

In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt, dass beim AWGN–Kanal für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt:
\[p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.\]

: Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung einer vorliegenden Konfiguration ist der Quotient aus dem tatsächlichen und dem größtmöglichen Detektions–SNR:

\[\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} L}}}= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei sind folgende Systemgrößen verwendet:

• g₀ = g_d(t = 0) gibt die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an.
  
• E_B beschreibt die Energie des Sendegrundimpulses.
  
• N₀ ist die (einseitige) AWGN-Rauschleistungsdichte.
  
• σ_d² bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter.
  

Nachfolgend wird gezeigt, dass für den Systemwirkungsgrad stets η_L ≤ 1 gilt.

Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (2)

Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich. Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls:\[h_{\rm S}(t) = \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} H_{\rm S}(f) = \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.\]
Damit hat h_S(t) die Einheit 1/s und H_S(f) ist dimensionslos. Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus:

• Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten:\[G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = G_{\rm Nyq}(f)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)= H_{\rm Nyq}(f)= \frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.\]

• Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich

\[g_d(t=0) = g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = g_0\hspace{0.05cm}.\]

• Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben:\[E_{\rm B} = g_0^2 \cdot T^2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.\]
  
• Die Detektionsstörleistung lautet:\[ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}. \]
  

Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein, so erhält man:\[\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.\]
Wendet man auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.

\(T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 2}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f)| \,{\rm d} f \right ]^2\)

\(\Rightarrow \hspace{0.3cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f \hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1 \)

an, so erkennt man, dass stets η_L ≤ 1 gilt. Die Auswertung zeigt, dass für

\[H_{\rm S, \hspace{0.05cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}\]
in obiger Ungleichung unabhängig vom Parameter γ das Gleichheitszeichen gilt:\[\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1\]
\(\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} = 1 \hspace{0.05cm}.\)

Im Folgenden wird meist vereinfachend γ = 1 gesetzt.

Wurzel–Nyquist–Systeme

Das wesentliche Ergebnis der Berechnungen auf den letzten Seiten war, dass beim optimalen Binärsystem unter der Nebenbedingung Leistungsbegrenzung

• die Impulsantwort h_E(t) des Empfangsfilters formgleich mit dem Sendegrundimpuls g_s(t) zu wählen ist (gleiches gilt für die zugehörigen Spektren), und
  
• der Detektionsgrundimpuls g_d(t) = g_s(t) ∗ h_E(t) die erste Nyquistbedingung erfüllen muss.
  

Sind sowohl g_s(t) als auch h_E(t) rechteckförmig mit T_S = T_E ≤ T, so werden beide Bedingungen erfüllt. Nachteilig für diese Konfiguration ist allerdings der große Bandbreitenbedarf aufgrund der nur langsam abfallenden, si–förmigen Spektralfunktionen G_s(f) und H_E(f).

Geht man von einem Nyquistspektrum mit Cosinus–Rolloff–Flanke (und Rolloff–Faktor r) aus,

\[ G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)}\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm},\]

so ergeben sich günstigere Spektraleigenschaften und ein geringerer Bandbreitenbedarf.
Die folgende Grafik zeigt die normierten Sendespektren G_s(f)/(g₀T) in logarithmierter Darstellung für die drei Rolloff–Faktoren

• r = 0 (grüne Kurve),
  
• r = 0.5 (blaue Kurve), und
  
• r = 1 (rote Kurve).
  

Die Spektralfunktion G_s(f)/(g₀T), die sich bei einem rechteckförmigen NRZ–Sendegrundimpils ergibt, ist gestrichelt und violett eingezeichnet.



Anzumerken ist, dass der Bandbreitenbedarf bei der Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt. Die Grafik gilt jedoch auch für die Trägerfrequenzsysteme entsprechend Kapitel 4 Please add link bei Darstellung im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei diesen Systemen spielt die Bandbreite eine wichtige Rolle. Jedes zusätzliches Hertz an Bandbreite kann sehr teuer sein.

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