Digital Signal Transmission/Error Probability with Intersymbol Interference

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Error Probability with Intersymbol Interference

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Gaußförmiges Empfangsfilter (1)

Zur quantitativen Berücksichtigung der Impulsinterferenzen wird folgende Konfiguration angenommen:

• Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls g_s(t) mit der Höhe s₀ und der Dauer T,
  

• Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz f_G:

\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm exp}\left [- \frac{\pi \cdot f^2}{(2f_{\rm G})^2} \right ] \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm exp}\left [- \pi \cdot (2 f_{\rm G} t)^2\right ] \hspace{0.05cm}.\]

• AWGN–Kanal, das heißt, es gilt H_K(f) = 1 und Φ_n(f) = N₀/2.
  
  

Für das gesamte Kapitel 3.2 wird somit von nachfolgendem Blockschaltbild ausgegangen.

Aufgrund der getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

\[g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2} {\rm exp}\left [- \pi \cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot \tau )^2\right ] \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.\]

Die Integration führt zu folgendem Ergebnis:

\[g_d(t) = s_0 \cdot \left [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2} )\right ) \right ]\hspace{0.05cm},\]

\[g_d(t) = {s_0}/{2} \cdot \left [ {\rm erfc} \left ( 2 \cdot \sqrt {\pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm erfc} \left ( 2 \cdot \sqrt {\pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2} )\right ) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Hierbei sind zwei Varianten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion verwendet, nämlich

\[\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} {\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]

Das Modul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion liefert die Zahlenwerte von Q(x) und erfc(x).

Die Rauschleistung am Ausgang des gaußförmigen Empfangsfilters H_G(f) ist gleich

\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0\cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.\]

Aus diesen beiden Gleichungen erkennt man bereits:

• Je kleiner die Grenzfrequenz f_G des Gauß–Tiefpasses ist, desto kleiner ist der Rauscheffektivwert σ_d und umso besser ist demzufolge das Rauschverhalten.
  

• Eine kleine Grenzfrequenz führt aber zu einer starken Abweichung des Detektionsgrundimpulses g_d(t) von der Rechteckform und damit zu nicht vernachlässigbaren Impulsinterferenzen.
  
  

Gaußförmiges Empfangsfilter (2)

Die nachfolgend linke Grafik zeigt den Detektionsgrundimpuls g_d(t) am Ausgang eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz f_G, wenn am Eingang ein NRZ–Rechteckimpuls (blauer Kurvenverlauf) anliegt.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Gaußtiefpass H_G(f) bewirkt, dass der Dektionsimpuls g_d(t) gegenüber dem Sendeimpuls g_s(t) verkleinert und verbreitert wird. Man spricht von Zeitdispersion.
  

• Diese Impulsverformung ist umso stärker, je kleiner die Grenzfrequenz f_G ist. Beispielsweise wird mit f_G · T = 0.4 (rote Kurve) das Impulsmaximum bereits auf etwa 68% herabgesetzt.
  

• Im Grenzfall f_G · T → ∞ hat der Gaußtiefpass keine Wirkung  ⇒  g_d(t) = g_s(t). Allerdings ist in diesem Fall keinerlei Rauschbegrenzung wirksam, wie aus dem rechten Bild hervorgeht.
  
  

Die Grafik auf der folgenden Seite zeigt das Detektionssignal d(t) nach dem Gaußtiefpass (vor dem Entscheider) für zwei verschiedene Grenzfrequenzen:

• Der obere Signalverlauf gilt für die (normierte) Grenzfrequenz f_E · T = 0.8.
  

• Für den unteren Signalverlauf ist die Grenzfrequenz nur halb so groß: f_E · T = 0.4.
  
  

Dargestellt sind in beiden Diagrammen gleichermaßen:

• der Anteil d_S(t) ohne Berücksichtigung des Rauschens (blau),
  
• das gesamte Detektionssignal d(t) inklusive der Rauschkomponente (gelb),
  
• das Sendesignal s(t) als Referenzsignal (grün gepunktet).
  
  

Leider sind die verschiedenen Signalverläufe dieses Bildschirmabzugs sehr schwer zu erkennen, besonders in der PDF–Version. Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Gaußförmiges Empfangsfilter (3)

Die Grafik zeigt das Detektionssignal d(t) nach dem Gaußtiefpass (also vor dem Entscheider) für zwei verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen, nämlich f_G · T = 0.8 und f_G · T = 0.4.

Durch einen Vergleich dieser Bilder lassen sich folgende Aussagen verifizieren:

• Mit der Grenzfrequenz f_G · T = 0.8 (obere Grafik) ergeben sich zu den Detektionszeitpunkten (bei Vielfachen von T) nur geringfügige Impulsinterferenzen. Durch den Gaußtiefpass werden hier in erster Linie die Ecken des Sendesignals s(t) abgerundet.
  

• Dagegen sind im unteren Bild (f_G · T = 0.4) die Auswirkungen der Impulsinterferenzen deutlich zu erkennen. Zu den Detektionszeitpunkten νT kann das blau dargestellte Detektionsnutzsignal d_S(t) sechs verschiedene Werte annehmen (eingezeichnete Rasterlinien).
  

• Der Rauschanteil d_N(t) – erkennbar als Differenz zwischen der gelben und der blauen Kurve – ist mit f_G · T = 0.8 im statistischen Mittel größer als mit f_G · T = 0.4.
  

• Dieses Ergebnis kann mit der der rechten Grafik auf der letzten Seite erklärt werden, die das Leistungsdichtespektrum der Rauschkomponente d_N(t) zeigt:

\[{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot |H_{\rm G}(f)|^2 = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left [- \frac{2\pi f^2}{(2f_{\rm G})^2} \right ] .\]

Das Integral über Φ_dN(f) – also die Rauschleistung σ_d² – ist für f_G · T = 0.8 (violette Kurve) doppelt so groß als mit der kleineren Grenzfrequenz f_G · T = 0.4 (rote Kurve).

Definition und Aussagen des Augendiagramms

Der oben dargelegte Sachverhalt lässt sich auch am Augendiagramm erklären. Wir gehen von einem redundanzfreien binären bipolaren NRZ–Rechtecksignal s(t) und dem Gaußtiefpass mit f_G · T = 0.4 aus. Dargestellt sind die Augendiagramme nach dem Gaußtiefpass, links mit Berücksichtigung des Rauschens  ⇒  Signal d(t) und rechts ohne Berücksichtigung des Rauschens  ⇒  Signal d_S(t).

: Unter dem Augendiagramm (im Englischen: Eye Pattern) versteht man die Summe aller übereinander gezeichneten Ausschnitte des Detektionssignals, deren Dauer ein ganzzahliges Vielfaches der Symboldauer T ist.

Dieses Diagramm hat eine gewisse Ähnlichkeit mit einem Auge, was zu seiner Namensgebung geführt hat. Diese Darstellung erlaubt wichtige Aussagen über die Qualität eines digitalen Übertragungssystems:

• Nur das Augendiagramm des Signals d(t) kann messtechnisch auf einem Oszilloskop dargestellt werden, das mit dem Taktsignal getriggert wird. Aus diesem Augendiagramm (linke Grafik) kann beispielsweise der Rauscheffektivwert σ_d abgelesen – besser gesagt: abgeschätzt – werden.
  

• Das Augendiagramm ohne Rauschen (rechte Grafik) bezieht sich auf das Detektionsnutzsignal d_S(t) und kann nur mittels einer Rechnersimulation ermittelt werden. Für ein realisiertes System ist dieses Augendiagramm nicht darstellbar, da der Rauschanteil d_N(t) nicht eliminiert werden kann.
  

• Bei beiden Diagrammen wurden jeweils 2048 Augenlinien gezeichnet. In der rechten Grafik sind jedoch nur 2⁵ = 32 Augenlinien unterscheidbar, da der vorliegende Detektionsgrundimpuls g_d(t) auf den Zeitbereich | t | ≤ 2T beschränkt ist (siehe frühere Grafik mit f_G · T = 0.4, rote Kurve).
  

• Die inneren Augenlinien bestimmen die vertikale Augenöffnung ö(T_D). Je kleiner diese ist, desto größer ist der Einfluss von Impulsinterferenzen. Bei einem (impulsinterferenzfreien) Nyquistsystem ist die vertikale Augenöffnung maximal. Normiert auf die Sendeamplitude gilt hier ö(T_D)/s₀ = 2.
  

• Bei symmetrischem Grundimpuls ist der Detektionszeitpunkt T_D = 0 optimal. Mit einem anderen Wert (z.B. T_D = – T/10) wäre ö(T_D)/s₀ etwas kleiner und damit die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich größer. Dieser Fall ist in der Grafik durch die violett–gestrichelte Vertikale angedeutet.
  

Mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (1)

Wir gehen wie bei den bisherigen Grafiken im Kapitel 3.2 von folgenden Voraussetzungen aus:

• NRZ–Rechtecke mit Amplitude s₀, AWGN–Rauschen mit N₀, wobei

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \frac{s_0^2 \cdot T}{N_0}\approx 13\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{N_0}{s_0^2 \cdot T} = 0.05\hspace{0.05cm}.\]

• Gaußförmiges Empfangsfilter mit Grenzfrequenz f_G · T = 0.4:

\[\sigma_d^2 = \frac{(N_0 /T)\cdot (f_{\rm G}\cdot T)}{\sqrt{2}}= \frac{0.05 \cdot s_0^2\cdot0.4}{\sqrt{2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_d = \sqrt{0.0141}\cdot s_0 \approx 0.119 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.\]

• Für die Detektionsgrundimpulswerte gilt:

\[g_0 = g_d(t=0) \approx 0.68 \cdot s_0,\]

\[ g_1 = g_d(t=T) \approx 0.16 \cdot s_0, \hspace{0.2cm} g_{-1} = g_d(t=-T) \approx 0.16 \cdot s_0\hspace{0.05cm}.\]

Alle anderen Grundimpulswerte können vernachlässigt werden.

Analysieren wir nun die möglichen Werte für das Detektionsnutzsignal zu den Detektionszeitpunkten:

• Von den insgesamt 32 Augenlinien schneiden vier die Ordinate t = 0 bei g₀ + 2 · g₁ = s₀. Diese Linien gehören zu den Amplitudenkoeffizienten „ ... , +1, +1, +1, ... ”.
  

• Die vier Augenlinien, die jeweils die Amplitudenkoeffizienten „ ... , –1, +1, –1, ... ” repräsentieren, ergeben den Detektionsnutzabtastwert d_S(T_D = 0) = g₀ – 2 · g₁ = 0.36 · s₀.
  

• Dagegen tritt der Nutzabtastwert d_S(T_D = 0) = g₀ = 0.68 · s₀ doppelt so häufig auf. Dieser geht auf die Amplitudenkoeffizienten „ ... , +1, +1, –1, ... ” oder „ ... , –1, +1, +1, ... ” zurück.
  

• Für die 16 Augenlinien, welche die Ordinate t = 0 unterhalb der Entscheiderschwelle E = 0 schneiden, ergeben sich genau spiegelbildliche Verhältnisse.
  
  

Die Konsequenzen dieser Analyse werden auf der nächsten Seite beschrieben.

Mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (2)

Die möglichen Werte d_S(T_D) und deren Auftrittswahrscheinlichkeiten findet man in obiger Grafik in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Detektionsnutzabtastwerte wieder:

\[f_{d{\rm S}}(d_{\rm S}) = {1}/{8} \cdot \delta (d_{\rm S} - s_0)+ {1}/{4} \cdot \delta (d_{\rm S} - 0.68 \cdot s_0)+ {1}/{8} \cdot \delta (d_{\rm S} - 0.36 \cdot s_0)+ \]

\[ + {1}/{8} \cdot \delta (d_{\rm S} + s_0)+{1}/{4} \cdot \delta (d_{\rm S} + 0.68 \cdot s_0)+{1}/{8} \cdot \delta (d_{\rm S} + 0.36 \cdot s_0)\hspace{0.05cm}.\]

Damit kann die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des impulsinterferenzbehafteten Systems angegeben werden. Unter Ausnutzung der Symmetrie erhält man mit σ_d/s₀ = 0.119:

\[p_{\rm S} = {1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{ \sigma_d} \right)+ {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left( \frac{0.68 \cdot s_0}{ \sigma_d} \right)+{1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{0.36 \cdot s_0}{ \sigma_d} \right)\]

\[ \approx {1}/{4} \cdot {\rm Q}(8.40) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}(5.71)+ {1}/{4} \cdot {\rm Q}(3.02)\approx\]

\[ \approx {1}/{4} \cdot 2.20 \cdot 10^{-17}+ {1}/{2} \cdot 1.65 \cdot 10^{-9}+ {1}/{4} \cdot 1.26 \cdot 10^{-3} \approx 3.14 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.\]

Anhand dieses Zahlenbeispiels erkennt man, dass

• bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit p_S wesentlich durch die inneren Augenlinien bestimmt wird,
  

• der Rechenaufwand zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit p_S sehr groß ist, insbesondere dann, wenn die Impulsinterferenzen von sehr vielen Grundimpulswerten g_ν herrühren.
  
  

: Gilt wie hier g₂ = g_–2 = ... = 0, so muss zur Berechnung von p_S nur über drei Terme (falls g_–1 = g₁) bzw. über vier Terme (andernfalls) gemittelt werden, wenn die Symmetrie bezüglich der Entscheiderschwelle E = 0 berücksichtigt wird. Sind dagegen die Grundimpulswerte g_–5, ... , g₅ von Null verschieden und E ≠ 0, so ist eine Mittelung über bis zu 2¹¹ = 2048 Augenlinien erforderlich.

Ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit (1)

Als eine sehr einfache Näherung für die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit p_S verwendet man häufig die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit (englisch: Worst-Case Error Probability)

\[p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm},\]

für deren Berechnung stets von den ungünstigsten Symbolfolgen ausgegangen wird. Das bedeutet, dass hier die tatsächliche WDF der Nutzabtastwerte (in der Grafik links eingezeichnet) durch eine vereinfachte WDF mit nur den beiden inneren Diracfunktionen (in der Grafik rechts dargestellt) ersetzt wird.

Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt mit den Grundimpulswerten g_ν = g_d(T_D + ν · T) allgemein:

\[{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= g_0 - \sum_{\nu = 1}^{n}|g_{\nu}|- \sum_{\nu = 1}^{v}|g_{-\nu}| \hspace{0.05cm}.\]

Diese Gleichung kann wie folgt interpretiert werden:

• g₀ = g_d(T_D) ist der so genannte Hauptwert des Grundimpulses. Bei Nyquistsystemen gilt stets <nobr> ö(T_D)/2 = g₀</nobr>. Mit Ausnahme von Kapitel 3.6 wird im Folgenden stets T_D = 0 gesetzt.
  

• Die erste Summe beschreibt die Impulsinterferenzen der n Nachläufer vorangegangener Impulse. Stillschweigend vorausgesetzt wird g_ν = 0 für ν > n.
  

• Die zweite Summe berücksichtigt den Einfluss der υ Vorläufer nachfolgender Impulse unter der Voraussetzung g_–ν = 0 für ν > υ.
  

• Sind alle Impulsvor– und –nachläufer positiv, so lauten die beiden ungünstigsten Symbolfolgen <nobr>„ ... , –1, –1, +1, –1, –1, ... ”</nobr> und <nobr>„ ... , +1, +1, –1, +1, +1, ... ”</nobr>. Dies trifft zum Beispiel für das hier betrachtete gaußförmige Empfangsfilter zu.
  

• Sind einige Grundimpulswerte negativ, so wird dies in obiger Gleichung durch die Betragsbildung berücksichtigt. Es ergeben sich dann andere „Worst–case”–Folgen als gerade genannt.
  

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