Digital Signal Transmission/Consideration of Channel Distortion and Equalization

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Consideration of Channel Distortion and Equalization

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Idealer Kanalentzerrer (1)

Bei einem Übertragungssystem, dessen Kanalfrequenzgang H_K(f) starke Verzerrungen hervorruft, gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik) und äquivalentem Ersatzschaltbild (untere Grafik) aus.

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

• Das Empfangsfilter H_E(f) wird – zumindest gedanklich – aus einem idealen Kanalentzerrer 1/H_K(f) und einem Tiefpass H_G(f) zusammengesetzt. Hierfür verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz f_G.
  

• Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle, so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  

• Aus dem unteren Ersatzschaltbild erkennt man, dass sich durch den Kanalfrequenzgang H_K(f) bezüglich des Detektionsnutzsignals d_S(t) nichts ändert, wenn man diesen mit 1/H_K(f) vollständig kompensiert. Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im Kapitel 3.2 berechnet.
  

• Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang H_K(f) zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung, also der Varianz des Signals d_N(t):

\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.\]

• Voraussetzung für endliches σ_d² ist, dass der Tiefpass H_G(f) das Rauschen n(t) bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer 1/H_K(f) angehoben wird.
  
  

Anmerkung: Der Kanalfrequenzgang H_K(f) muss nach Betrag und Phase entzerrt werden, allerdings nur in einem von H_G(f) vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

Idealer Kanalentzerrer (2)

: Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter mit der (normierten) Grenzfrequenz f_G · T = 0.4. Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals d_S(t) – also ohne Berücksichtigung des Rauschens. Dieses ist identisch mit dem in Kapitel 3.2 mehrfach dargestellten Augendiagramm.

Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal, also für H_K(f) = 1. Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen, das aber hier mit 10 · lg E_B/N₀ = 30 dB deutlich geringer angenommen wurde als im Kapitel 3.2. Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.\]

Dagegen gilt das rechte Diagramm für ein Koaxialkabel, wobei die charakteristische Kabeldämpfung a_∗ = 40 dB beträgt. Hierfür ergeben sich deutlich ungünstigere Systemgrößen:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.\]

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers ergibt sich das gleiche „Augendiagramm ohne Rauschen” wie beim idealen Kanal H_K(f) = 1 (siehe mittlere Grafik).
  

• Durch die Kanalentzerrung 1/H_K(f) wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine weitgehende Entzerrung erforderlich. Die Rauschleistung σ_d² ist um den Faktor 1300 größer als links (keine Verzerrung  ⇒  keine Entzerrung).
  

• Eine akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte N₀. Beispielsweise erhält man mit 10 · lg E_B/N₀ = 50 dB (statt 30 dB) folgendes Ergebnis:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.\]

Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung (1)

Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung σ_d² bei unveränderter vertikaler Augenöffnung, wenn man den Kanalfrequenzgang H_K(f) empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert. Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte Φ_dN(f) nach dem Empfangsfilter (vor dem Entscheider) interpretiert werden, wobei folgende Einstellungen gelten:

• Der Kanal sei ein Koaxialkabel mit dem Betragsfrequenzgang

\[|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star} = 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm} 15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.\]

• Der ideale Kanalentzerrer H_K^–1(f) kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs– und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.
  

• Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein Gaußtiefpass eingesetzt:

\[|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2 \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.8/T \hspace{0.2cm} {\rm bzw.} \hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.4/T \hspace{0.05cm}.\]

Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:

\[{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Dieser Verlauf ist nachfolgend für die beiden (normierten) Grenzfrequenzen f_G · T = 0.8 (links) bzw. f_G · T = 0.4 (rechts) dargestellt. Die Interpretation erfolgt auf der nächsten Seite.

Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit a_∗ = 15 dB (entsprechend 1.7 Np) deutlich kleiner gewählt ist als beim rechten Augendiagramm auf der letzten Seite (gültig für a_∗ = 40 dB).

Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung (2)

Die Grafik zeigt nochmals die Rauschleistungsdichte Φ_dN(f) für zwei verschiedene Grenzfrequenzen.

Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz f_G · T = 0.8, die nach den Berechnungen im Kapitel 3.2 für H_K(f) = 1 das Optimum darstellt.

• Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte N₀/2 am Empfängereingang. Bei idealem Kanal wird diese durch den Gaußtiefpass begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung σ_d² (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).
  

• Werden – wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich – höhere Frequenzen stark gedämpft, so steigt |H_E(f)|² aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an, bevor für f · T ≥ 0.6 (nur gültig für a_∗ = 15 dB und f_G · T = 0.8) der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.
  

• Die Rauschleistung σ_d² ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor 28 größer ist als die blaue Fläche. Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite, allerdings für a_∗ = 40 dB.
  
  

Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte Φ_dN(f) für die normierte Grenzfrequenz f_G · T = 0.4. Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor 9 vergrößert (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve und der blauen Fläche).

Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor, dass bei verzerrendem Kanal  ⇒  H_K(f) ≠ 1 die Grenzfrequenz f_G · T = 0.8 nicht mehr optimal sein wird.

Optimierung der Grenzfrequenz (1)

Die Grafik zeigt die Störabstände 10 · lg ρ_d (als Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit p_S) sowie 10 · lg ρ_U (als Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit p_U) in Abhängigkeit der Grenzfrequenz f_G des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs H_G(f) = H_K(f) · H_E(f). Dieses Bild gilt für

• einen koaxialen Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ = 15 dB,
  

• AWGN–Rauschen mit 10 · lg E_B/N₀ = 27 dB, wobei E_B = s₀² · T zu setzen ist.
  
  

Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der entsprechenden Grafik in Kapitel 3.2, die für H_K(f) = 1 und 10 · lg E_B/N₀ = 13 dB gegolten hat:

• Auch bei stark verzerrendem Kanal ist ρ_U eine geeignete untere Schranke für ρ_d (das heißt, es ist stets ρ_d ≥ ρ_U) und dementsprechend p_U eine sinnvolle obere Schranke für p_S   ⇒   p_U ≥ p_S.

• Bei der hier betrachteten Kabeldämpfung a_∗ = 15 dB ist die Grenzfrequenz f_G · T = 0.55 in etwa optimal und es gilt ö(T_D)/s₀ ≈ 1.327 sowie σ_d/s₀ ≈ 0.106. Daraus ergeben sich der (ungünstigste) Störabstand 10 · lg ρ_U ≈ 15.9 dB und die worst–case–Fehlerwahrscheinlichkeit p_U ≈ 2 · 10^–9.
  

• Eine kleinere Grenzfrequenz würde zu einer deutlich kleineren Augenöffnung führen, ohne dass dadurch auch σ_d gleichermaßen verkleinert wird. Beispielsweise gilt mit f_G · T = 0.4:

\[\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.\]

• Ist die Grenzfrequenz f_G zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz f_G · T = 0.8:

\[\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.2\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.\]

• Das Optimum mit 10 · lg ρ_d ≈ 16.2 dB und 10 · lg ρ_U ≈ 15.9 dB ist deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal. Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier 10 · lg E_B/N₀ = 27 dB zugrunde liegt; im Kapitel 3.2 wurde stets von 13 dB ausgegangen.