Digital Signal Transmission/Approximation of the Error Probability

1. Digital Signal Transmission
2. Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
3. Approximation of the Error Probability

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Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (1)

Wir gehen hier von einem Übertragungssystem aus, das wie folgt charakterisiert werden kann: r = s + n:

• Der das Übertragungssystem vollständig beschreibende Vektorraum wird von N = 2 zueinander orthogonalen Basisfunktionen φ₁(t) und φ₂(t) aufgespannt.
  

• Demzufolge ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des additiven und weißen Gaußschen Rauschens zweidimensional anzusetzen, gekennzeichnet durch den Vektor n = (n₁, n₂).
  

• Es gibt nur zwei mögliche Sendesignale (M = 2), die durch die beiden Vektoren s₀ = (s₀₁, s₀₂) und s₁ = (s₁₁, s₁₂) beschrieben werden:

\[s_0(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm},\]

\[s_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t) + s_{12} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.\]

• Die beiden Nachrichten m₀ ⇔ s₀ und m₁ ⇔ s₁ sind nicht notwendigermaßen gleichwahrscheinlich.
  

• Aufgabe des Entscheiders ist es nun, für den gegebenen Empfangsvektor r einen Schätzwert nach der MAP–Entscheidungsregel anzugeben. Diese lautet im vorliegenden Fall:

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } |m_i ) ] \hspace{0.15cm} \in \hspace{0.15cm}\{ m_i\}\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \boldsymbol{ r } = \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2) \hspace{0.05cm}.\]

Im hier betrachteten Sonderfall N = 2 und M = 2 partitioniert der Entscheider den zweidimensionalen Raum in die zwei disjunkten Gebiete I₀ und I₁, wie in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht. Liegt der Empfangswert in I₀, so wird als Schätzwert m₀ ausgegeben, andernfalls m₁.

Die Herleitung und Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (2)

Beim AWGN–Kanal und M = 2 lautet somit die Entscheidungsregel: Man entscheide sich immer dann für die Nachricht m₀, falls folgende Bedingung erfüllt ist:

\[{\rm Pr}( m_0) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 \right ] > {\rm Pr}( m_1) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Die Grenzlinie zwischen den beiden Entscheidungsregionen I₀ und I₁ erhält man, wenn man in obiger Gleichung das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt und die Gleichung etwas umformt:

\[|| \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_0)] = || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_1)] \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 + 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]

Aus dieser Gleichung erkennt man:

• Die Grenzkurve zwischen den Regionen I₀ und I₁ ist eine Gerade, da die Bestimmungsgleichung linear im Empfangsvektor ρ = (ρ₁, ρ₂) ist.
  

• Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen verläuft die Grenze genau in der Mitte zwischen s₀ und s₁ und um 90° verdreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den Sendepunkten (linke Grafik):

\[|| \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]

• Für Pr(m₀) > Pr(m₁) ist die Entscheidungsgrenze in Richtung des unwahrscheinlicheren Symbols (s₁) verschoben, und zwar um so mehr, je größer die AWGN–Streuung σ_n ist.
  
  

Die grün–durchgezogene Entscheidungsgrenze im rechten Bild sowie die Entscheidungsregionen I₀ (rot) und I₁ (blau) gelten für die Streuung σ_n = 1 und die gestrichelten Grenzlinien für σ_n = 0 bzw. σ_n = 2.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (1)

Wir gehen weiterhin von einem Binärsystem aus (M = 2), betrachten aber nun den einfachen Fall, dass dieses durch eine einzige Basisfunktion beschrieben werden kann (N = 1). Die Fehlerwahrscheinlichkeit hierfür wurde bereits in Kapitel 1.2 berechnet.

Mit der für Kapitel 4 gewählten Nomenklatur und Darstellungsform ergibt sich folgende Konstellation:

• Der Empfangswert r = s + n – nunmehr ein Skalar – setzt sich aus dem Sendesignal s ∈ {s₀, s₁} und dem Rauschterm n zusammen. Die Abszisse ρ bezeichnet eine Realisierung von r.
  

• Die Abszisse ist auf die Bezugsgröße E^1/2 normiert, wobei die Normierungsenergie E keine herausgehobene physikalische Bedeutung hat.
  

• Der Rauschterm n ist gaußverteilt mit dem Mittelwert 0 und der Varianz σ_n². Die Wurzel aus der Varianz (σ_n) wird als Effektivwert oder Streuung bezeichnet.
  

• Die Entscheidergrenze G unterteilt den gesamten Wertebereich von r in die beiden Teilbereiche I₀ (in dem unter anderem s₀ liegt) und I₁ (mit dem Signalwert s₁).
  

• Ist ρ > G, so liefert der Entscheider den Schätzwert m₀, andernfalls m₁. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die Nachricht m_i mit dem Sendesignal s_i eineindeutig zusammenhängt: m_i  ⇔  s_i.

Die Grafik zeigt die bedingten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen p_r|m0 und p_r|m1 für den hier betrachteten AWGN–Kanal, wobei gleiche Symbolwahrscheinlichkeiten vorausgesetzt sind: Pr(m₀) = Pr(m₁) = 0.5. Dementsprechend ist die (optimale) Entscheidergrenze G = 0.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Ist m = m₀ und damit s = s₀ = 2 · E ^1/2, so kommt es nur dann zu einer Fehlentscheidung, wenn η, die Realisierung der Rauschgröße n, kleiner ist als –2 · E ^1/2.
  

• In diesem Fall ist ρ < 0, wobei ρ eine Realisierung des Empfangswertes r bezeichnet.
  
  

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (2)

Kommen wir nun zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit:

• Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert (Streuung) σ_n erhält man in diesem Fall, wie bereits in Kapitel 1.2 mit anderer Nomenklatur berechnet wurde:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{G = 0} p_{r \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \rho } |m_0 ) \,{\rm d} \rho = \int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \eta } |m_0 ) \,{\rm d} \eta = \]

\[\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = \int_{ s_0 }^{\infty} p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {s_0 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]

• Bei der Herleitung der Gleichung wurde berücksichtigt, dass das AWGN–Rauschen η unabhängig vom Signal (m₀ oder m₁) ist und eine symmetrische WDF besitzt. Verwendet wurde zudem das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral

\[{\rm Q}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \hspace{0.05cm}.\]

• Entsprechend gilt für m = m₁   ⇔   s = s₁ = –2 · E ^1/2:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = \int_{0}^{\infty} p_{{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1 } ({ \rho } |m_1 ) \,{\rm d} \rho = \int_{- s_1 }^{\infty} p_{{ n} } (\boldsymbol{ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {- s_1 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]

• Mit dem Abstand d = s₁ – s₀ der zwei Signalraumpunkte lassen sich die beiden Ergebnisse zusammenfassen, wobei noch <nobr>Pr(m₀) + Pr(m₁) = 1</nobr> zu berücksichtigen ist:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) = {\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right )\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({ \cal E} ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_0) + {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_1)=\]

\[ \hspace{0.2cm}\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) \right ] \cdot {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) \hspace{0.05cm}.\]

Diese Gleichung gilt unter der Voraussetzung G = 0 ganz allgemein, also auch für Pr(m₀) ≠ Pr(m₁). Bei nicht gleichwahrscheinlichen Symbolen lässt sich allerdings die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit durch eine andere Entscheidergrenze verkleinern.

Hinweis: Die hier genannte Gleichung gilt auch dann, wenn die Signalraumpunkte keine Skalare sind, sondern durch die Vektoren s₀ und s₁ beschrieben werden. Der Abstand d ergibt sich dann als die Norm des Differenzvektors:

\[d = || \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_1 - \boldsymbol{ s}_0 \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}.\]