Aufgaben:Exercise 3.10Z: Amplitude and Angle Modulation in Comparison

• Return to book

Betrachtet wird die Übertragung eines Cosinussignals mit Amplitudenmodulation und Winkelmodulation. Es gelten folgende Randbedingungen:

• Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$,
• Sendeleistung $P_S = 100 kW$,
• Kanaldämpfungsfaktor $20 · lg α_K = –120 dB$,
• Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{–16} W/Hz$.

Diese Systemparameter werden zweckmäßigerweise zur gemeinsamen Leistungskenngröße $$ \xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$ zusammengefasst. Die Grafik zeigt den sich ergebenden Sinken–Störabstand $10 · lg ρ_υ$ in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße $ξ$.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.2 , Kapitel 3.2 und Kapitel 3.3. Es gelten folgende Beziehungen: $$\rho_{v } = \left\{ \begin{array}{c} \xi \\ {\eta^2}/2 \cdot\xi \\ 3{\eta^2}/2 \cdot\xi \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}l} {\rm ZSB/ESB-AM \hspace{0.15cm}ohne \hspace{0.15cm}Tr\ddot{a}ger} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm PM \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}Modulationsgrad \hspace{0.15cm} \eta } \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}Modulationsgrad \hspace{0.15cm} \eta }\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Die Bandbreiten bei Winkelmodulation sind so zu wählen, dass ein Klirrfaktor K kleiner als 1% garantiert werden kann (Carson–Regel): $$ B_{\rm K} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die logarithmierte Leistungskenngröße $ξ$.

$10 · lg ξ$ = $dB$

2

Welcher Sinkenstörabstand ergibt sich beim AM–System?

$10 · lg ρ_υ$ = $dB$

3

Welche spezielle Form der AM könnte hier vorliegen?

	ZSB–AM.
	ESB–AM.
	AM ohne Träger.
	AM mit zugesetztem Träger.

4

Wie groß ist im Fall der ZSB–AM die erforderliche Kanalbandbreite?

$B_K$ = $KHz$

5

Wie groß ist der Sinkenstörabstand beim WM-System?

$10 · lg ρ_υ$ = $dB$

6

Welche Bandbreite ist beim vorgegebenen PM–System mindestens erforderlich, wenn K < 1% gelten soll?

$B_K$ = $KHz$

7

Wie groß ist für K < 1% die erforderliche Bandbreite, wenn das WM–System eine Frequenzmodulation realisiert?

$B_K$ = $KHz$

8

Wie groß muss bei sonst gleichen Parametern die Sendeleistung mindestens sein, damit das WM–System nicht schlechter als das AM–System ist?

$P_S$ = $KW$

Musterlösung

Solution

1.Aus $20 · lg α_K = –120 dB$ erhält man $α_K = 10^{–6}$. Damit ergibt sich mit $B_{NF} = f_N$: $$ \xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-12} \cdot 10^{5}\;{\rm W}}{10^{-16}\;{\rm W/Hz} \cdot 10^{4}\;{\rm Hz}}= 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

2. Aus der Grafik ist zu entnehmen, dass beim AM–System $ρ_υ = ξ$ gilt. Damit ist auch $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }\hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

3. Es handelt sich um eine ZSB–AM oder ESB–AM ohne Träger, das heißt, richtig sind die ersten drei Lösungsvorschläge. Dagegen scheiden die ZSB–AM und die ESB–AM mit Träger aus. In diesen Fällen würde $ρ_υ$ stets kleiner als $ξ$ sein.

4.Bei der ZSB–AM muss $B_K ≥ 2 · f_N = 20 kHz$ gelten.

5. Aus der Grafik erkennt man, dass ab etwa $20 dB$ gilt: $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi + 10\,{\rm dB}. \hspace{0.3cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi = 50\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }\hspace{0.15cm}\underline {= 60\,{\rm dB}}.$$

6. Bei Phasenmodulation gilt: $$ \rho_{v }= \frac{\eta^2}{2} \cdot \xi \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta^2 = \frac{2 \cdot \rho_{v }}{\xi} = 20\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta \approx 4.47 \hspace{0.05cm}.$$ Damit muss für die Kanalbandbreite unter der Voraussetzung K < 1% gelten: $$B_{\rm K} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) = 20\,{\rm kHz}\cdot 6.47 \hspace{0.15cm}\underline { \approx 130\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

7.Hier genügt ein kleinerer Modulationsindex und damit auch eine kleinere Bandbreite: $${3}/{2}\cdot \eta^2 = 10\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta \approx 2.58 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = 20\,{\rm kHz}\cdot 4.58 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 91.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$ 8. In der Grafik erkennt man den so genannten FM–Knick. Für $10 · lg ξ = 15 dB$ erhält man für das WM–System genau das gleiche Sinken–SNR wie für das AM–System. Die Sendeleistung kann also um $35 dB$ kleiner sein als $100 kW$: $$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\frac{P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min}}{100\,{\rm kW}}= -35\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min}}{100\,{\rm kW}}\approx 0.0003\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.03\,{\rm kW}}\hspace{0.05cm}.$$