Aufgaben:Exercise 4.7: Spectra of ASK and BPSK

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Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_T$ und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase $ϕ_T$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ {0, 1}$ – des Quellensignals $$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$ anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν$ ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.

In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren $Φ_q(f)$ und $Φ_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 V$ und der Dauer $T = 1 μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion: $$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$ Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.

Fragebogen

1 Wie groß sind der Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und das Diracgewicht B bei ASK?

$ASK: A$ = $10^{-6}$ $V^2$

$B$ = $V^2$

2 Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des ASK–Sendesignals.

$ASK: C$ = $10^{-6}$ $V^2/Hz$

$D$ = $V^2$

3 Wie groß sind die Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und B bei BPSK?

$BPSK: A$ = $10^{-6}$ $V^2/Hz$

$B$ = $V^2$

4 Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des BPSK–Sendedsignals.

$BPSK: C$ = $10^{-6}$ $V^2/Hz$

$D$ = $V^2$

5 Welche Aussagen treffen zu, auch wenn $g_q(t)$ kein NRZ–Rechteckimpuls ist?

+ Der kontinuierliche Anteil von $Φ_q(f)$ ist formgleich mit $|Gq(f)|^2$.

- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.

- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.

Musterlösung

Solution

1. Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$. Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q$ ∈ {$+s_0/2$, $–s_0/2$}. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann: $$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$

2. Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_T$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum $Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt: $$C = \frac {A}{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$ Anmerkung: Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über $Φ_s(f)$: $$ P_{\rm S} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int\limits_{ 0 }^\infty {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f=$$ $$ = 2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$

3. Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ B = 0 und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK: $$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$

4. Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK: $$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

5. Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet $Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.