Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.4: Walsh Functions (PCCF, PACF)"
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| + | Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte ''Walsh–Funktionen'', die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix | ||
| + | H2=[+1+1+1−1] | ||
| + | lassen sich durch folgende rekursive Berechnungsvorschrift die weiteren Hadamard–Matrizen H4, H8, usw. herleiten: | ||
| + | H2J=[HJHJHJ−HJ]. | ||
| + | Die Grafik zeigt die Matrix H8 für den Spreizfaktor J = 8. Daraus lassen sich die Spreizfolgen | ||
| + | ⟨w(1)ν⟩=+1−1+1−1+1−1+1−1, | ||
| + | ⟨w(2)ν⟩=+1+1−1−1+1+1−1−1, | ||
| + | ... | ||
| + | ⟨w(7)ν⟩=+1−1−1+1+1−1−1+1. | ||
| + | für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge 〈w_ν^{(0)}〉 entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht wirklich spreizt. | ||
| + | |||
| + | Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor J = 4. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen 〈w_ν{(1)}〉, 〈w_ν{(2)}〉 und 〈w_ν{(3)}〉 maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix H_4 ergeben. | ||
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| + | Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten: | ||
| + | :* Die periodische Kreuzkorrelationsfunktion (PKKF) zwischen den Folgen 〈w_ν{(i)}〉 und 〈w_ν{(j)}〉 wird mit φ_{ij}(λ) bezeichnet. Hierbei gilt: | ||
| + | {\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}. | ||
| + | :* Ist die PKKF φ_{ij}(λ) identisch 0 (das heißt: φ_{ij}(λ) = 0 für alle Werte von λ), so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn zwei Teilnehmer unterschiedliche Laufzeiten aufweisen. | ||
| + | :* Gilt wenigstens φ_{ij}(λ = 0) = 0, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen. | ||
| + | :* Die periodischen Autokorrelationsfunktionen (PAKF) der Walsh–Funktion 〈w_ν{(i)}〉 wird mit φ_{ii}(λ) bezeichnet. Es gilt: | ||
| + | {\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}. | ||
| + | '''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Spreizfolgen_f%C3%BCr_CDMA Kapitel 5.3]. Die Abszisse ist auf die Chipdauer T_c normiert. Das bedeutet, dass λ = 1 eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit τ = T_c beschreibt. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | { | + | {Wie lauten die Spreizfolgen für J = 4? |
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| − | + | + 〈$w_ν{(1)}$〉 = +1 –1 +1 –1, | |
| − | + | + | + 〈$w_ν{(2)}$〉 = +1 +1 –1 –1, |
| − | + | + 〈$w_ν{(3)}〉 = +1 –1 –1 +1. | |
| − | |||
| − | { | ||
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| − | $ | ||
| + | {Welche Aussagen gelten bezüglich der PKKF–Werte φ_{ij}(λ = 0)? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + Für J = 4 ist φ_{12}(λ = 0) = 0. | ||
| + | + Für J = 4 ist φ_{13}(λ = 0) = 0. | ||
| + | + Für J = 4 ist φ_{23}(λ = 0) = 0. | ||
| + | - Für J = 8 kann durchaus φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0 gelten (i ≠ j). | ||
| + | + Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | ||
| + | {Welche Aussagen gelten für die PKKF–Werte mit λ ≠ 0? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + Die PKKF φ_{12}(λ) ist für alle Werte von λ gleich 0. | ||
| + | + Die PKKF φ_{13}(λ) ist für alle Werte von λ gleich 0. | ||
| + | - Die PKKF φ_{23}(λ) ist für alle Werte von λ gleich 0 | ||
| + | - Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | ||
| + | {Welche Aussagen gelten für die PAKF–Kurven? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + Alle φ_{ii}(λ) sind periodisch. | ||
| + | + Es gilt φ_{11}(λ = 0) = 1 und φ_{11}(λ = 1) = –1. | ||
| + | - Es gilt φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ). | ||
| + | + Es gilt φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ). | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1.''' | + | '''1.''' Die Matrix H_4 ist die linke obere Teilmatrix von H_8. Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von H_4, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein. Somit sind alle Vorschläge richtig. |
| − | '''2.''' | + | |
| − | '''3.''' | + | '''2.''' Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt: |
| − | + | {\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}, | |
| − | + | {\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}, | |
| − | ''' | + | {\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}. |
| − | + | Auch für größere Werte von J ist der PKKF–Wert φ_{ij}(λ = 0) für i ≠ j stets 0. Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. Richtig sind somit alle Aussagen mit Ausnahme von Lösungsvorschlag (4). | |
| + | |||
| + | '''3.''' Die PKKF φ_{12}(λ) ist für alle Werte von λ gleich 0, wie die folgenden Zeilen zeigen: | ||
| + | \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, | ||
| + | \langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, | ||
| + | \langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, | ||
| + | \langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, | ||
| + | $$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Das gleiche gilt für die PKKF φ_{13}(λ). Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen 〈w_ν^{(2)}〉 und 〈w_ν{(3)}〉: | ||
| + | $${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | ||
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| + | Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit. Richtig sind also nur die Lösungsvorschläge 1 und 2. | ||
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| + | In der nachfolgenden Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot). | ||
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| + | '''4.''' Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4. Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit T_0 = 2T_c, ist auch die PAKF periodisch mit λ = 2. | ||
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| + | Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug): | ||
| + | {\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 1\hspace{0.05cm}, | ||
| + | {\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}. | ||
| + | Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um T_c unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ). Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet. | ||
| + | |||
| + | Dagegen unterscheidet sich φ_{22}(λ) von φ_{11}(λ) durch eine andere Periodizität: φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ) ist doppelt so breit wie φ_{11}(λ). | ||
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{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Revision as of 18:00, 7 January 2017
Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte Walsh–Funktionen, die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix {\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] lassen sich durch folgende rekursive Berechnungsvorschrift die weiteren Hadamard–Matrizen H4, H8, usw. herleiten: {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}. Die Grafik zeigt die Matrix H_8 für den Spreizfaktor J = 8. Daraus lassen sich die Spreizfolgen \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, ... \langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}. für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge 〈w_ν^{(0)}〉 entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht wirklich spreizt.
Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor J = 4. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen 〈w_ν{(1)}〉, 〈w_ν{(2)}〉 und 〈w_ν{(3)}〉 maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix H_4 ergeben.
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
- Die periodische Kreuzkorrelationsfunktion (PKKF) zwischen den Folgen 〈w_ν{(i)}〉 und 〈w_ν{(j)}〉 wird mit φ_{ij}(λ) bezeichnet. Hierbei gilt:
{\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.
- Ist die PKKF φ_{ij}(λ) identisch 0 (das heißt: φ_{ij}(λ) = 0 für alle Werte von λ), so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn zwei Teilnehmer unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
- Gilt wenigstens φ_{ij}(λ = 0) = 0, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen.
- Die periodischen Autokorrelationsfunktionen (PAKF) der Walsh–Funktion 〈w_ν{(i)}〉 wird mit φ_{ii}(λ) bezeichnet. Es gilt:
{\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 5.3. Die Abszisse ist auf die Chipdauer T_c normiert. Das bedeutet, dass λ = 1 eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit τ = T_c beschreibt.
Fragebogen
Musterlösung
2. Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt: {\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}, {\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}, {\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}. Auch für größere Werte von J ist der PKKF–Wert φ_{ij}(λ = 0) für i ≠ j stets 0. Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. Richtig sind somit alle Aussagen mit Ausnahme von Lösungsvorschlag (4).
3. Die PKKF φ_{12}(λ) ist für alle Werte von λ gleich 0, wie die folgenden Zeilen zeigen: \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}. Das gleiche gilt für die PKKF φ_{13}(λ). Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen 〈w_ν^{(2)}〉 und 〈w_ν{(3)}〉: {\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}
Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit. Richtig sind also nur die Lösungsvorschläge 1 und 2.
In der nachfolgenden Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
4. Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4. Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit T_0 = 2T_c, ist auch die PAKF periodisch mit λ = 2.
Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug): {\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 1\hspace{0.05cm}, {\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}. Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um T_c unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ). Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
Dagegen unterscheidet sich φ_{22}(λ) von φ_{11}(λ) durch eine andere Periodizität: φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ) ist doppelt so breit wie φ_{11}(λ).
