Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2: Signal Classification"
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<math>E_2 = </math>{ 5_5 } · 10 ^ ({ -4_5 }) V²s | <math>E_2 = </math>{ 5_5 } · 10 ^ ({ -4_5 }) V²s | ||
| − | <math>P_2 = </math>{ | + | <math>P_2 = </math>{ 0. } · 10 ^({ 00_5 }) Vs |
{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie? | {Welche der Signale besitzen eine endliche Energie? | ||
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===Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"=== | ===Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"=== | ||
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| − | '''1.''' Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten t eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale | + | '''1.''' Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale. |
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| + | Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich. | ||
| − | '''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten t < 0 nicht existiert bzw. identisch 0 ist. Dies gilt für die beiden ersten Signale <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale. | + | Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor. Zutreffend sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. |
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| + | '''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die <u>beiden ersten Signale</u> <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale. | ||
'''3.''' Nach der allgemeinen Definition gilt: | '''3.''' Nach der allgemeinen Definition gilt: | ||
| − | <math>E_2 = \lim_{T_M \to \infty}\int_{- | + | <math>E_2 = \lim_{T_M \to \infty}\int_{-{T_M}/{2}}^{{T_M}/{2}} x_2^{2}(t)dt</math> |
Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze 0 und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält: | Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze 0 und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält: | ||
Revision as of 16:19, 12 January 2017
Aufgabe zu Klassifizierung von Signalen
Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
- Das Signal \(x_1(t)\) wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
- Das rote Signal \(x_2(t)\) ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:
\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]
- Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:
\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.\]
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
- deterministisch bzw. stochastisch,
- kausal bzw. akausal,
- energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
- wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
- zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.
Fragebogen zu „Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung”
Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"
Die Signalamplituden von \(x_2(t)\) und \(x_3(t)\) können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
Dagegen sind beim Signal \(x_1(t)\) nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor. Zutreffend sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
2. Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die beiden ersten Signale \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\). Dagegen gehört \(x_3(t)\) zur Klasse der akausalen Signale.
3. Nach der allgemeinen Definition gilt\[E_2 = \lim_{T_M \to \infty}\int_{-{T_M}/{2}}^{{T_M}/{2}} x_2^{2}(t)dt\]
Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze 0 und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält\[E_2 = \int_{0}^{\infty}(1V)^{2} \cdot e^{-\frac{2t}{1ms}} dt = 5 \cdot 10^{-4} V^{2}s \]
Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt P2 = 0.
4. Wie bereits unter Punkt 3. berechnet wurde, besitzt \(x_2(t)\) eine endliche Energie\[E_2 = 5 \cdot 10^{-4} V^2s\].
Die Energie des Signals \(x_3(t)\) ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich t < 0 den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich t > 0. Also ist
\(E_3 = 10^{-3} V^2s\)
⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.
Beim Signal \(x_1(t)\) divergiert das Energieintegral\[E_1 \rightarrow \infty\].
Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf
\(P_1 = 0.5 V^2\)
und ist dementsprechend leistungsbegrenzt. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.
