Aufgaben:Exercise 2.3: Cosine and Sine Components

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Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen

Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der siehe Grafik. Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ .

Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1 Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$?

$x(t=0)$ =   ${\rm V}$

2 Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$?

$T_0$ =   ${\rm ms}$

3 Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?

$y(t=0)$ =   ${\rm V}$

4 Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend?

	$y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit Gewicht $5\,{\rm V}$.

Musterlösung

Solution

1. Das Zeitsignal hat die folgende Form:

$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$

Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$.

2. Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$ $2.5 · f_1$. Daraus folgt $f_1 = 4{\,\rm kHz}$  ⇒  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.

Spektrum mit diskreten Anteilen

3. Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$

Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $\underline{10\,\rm V}$. Rechts sehen Sie das Spektrum $Y(f)$.

4. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt.
• Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
• Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
• Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ .