Theory of Stochastic Signals/Some Basic Definitions

1. Theory of Stochastic Signals
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung
3. Some Basic Definitions

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Experiment – Ergebnis – Wahrscheinlichkeit

Der Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein Zufallsexperiment. Darunter versteht man einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem Ergebnis $E$, bei dem jedoch die Menge { $E_μ$} der möglichen Ergebnisse angebbar ist.

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bezeichnet man als den Ergebnisumfang $M$. Dann gilt: $$E_\mu \in G = \{E_\mu\}= \{E_1, \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}, E_M \} .$$ Hierbei kann die Laufvariable $μ$ alle ganzzahligen Werte zwischen 1 und $M$ annehmen. $G$ nennt man auch den Ereignisraum oder die Grundmenge.

Beim Experiment Münzwurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich Zahl und Bild ⇒ $M =$ 2. Dagegen sind beim Zufallsexperiment Werfen einer Roulettekugel insgesamt $M =$ 37 verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt hier für für die Grundmenge: $$G = \{E_\mu\} = \{0, 1, 2, ... , 36\}.$$

Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus $G$ zur Folge hat und dass jedes dieser $M$ Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist.

Mit dieser Annahme gilt für die Wahrscheinlichkeit (englisch: Probability) eines jeden Ergebnisses $E_μ$ gleichermaßen: $$\Pr (E_\mu) = 1/{M}.$$

Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Pr( ... ) steht dabei für Probability und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.

Beim Zufallsexperiment Münzwurf gilt für die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse: Pr(Zahl) = Pr(Bild) = 1/2. Dies setzt voraus, dass jeder Versuch entweder mit Zahl oder mit Bild ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann.

Auch beim Versuch Werfen einer Roulettekugel sind die Wahrscheinlichkeiten Pr( $E_μ$) = 1/37 nur dann für alle Zahlen von 0 bis 36 gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.

Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind. Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen. Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.

Ereignis und Ereignismenge

Unter einem Ereignis $A_i$ verstehen wir eine Menge bzw. die Zusammenfassung von Ergebnissen. Die Menge aller Ereignisse bezeichnen wir als die Ereignismenge { $A_i$}. Da die Anzahl $I$ der möglichen Ereignisse { $A_i$} im Allgemeinen nicht mit der Anzahl $M$ der möglichen Ergebnisse – also der Elemente von $G =$ { $E_μ$} – übereinstimmt, werden hier unterschiedliche Indizes gewählt.

Setzt sich ein Ereignis $A_i$ aus $K$ (elementaren) Ergebnissen zusammen, so wird dessen Wahrscheinlichkeit wie folgt definiert: $${\rm Pr} (A_i) = \frac{K}{M} = \frac{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}g\ddot{u}nstigen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}m\ddot{o}glichen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}.$$

Diese Gleichung nennt man die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace. Günstige Ergebnisse sind dabei solche, die zum zusammengesetzten Ereignis $A_i$ gehören. Aus dieser Gleichung geht bereits hervor, dass eine Wahrscheinlichkeit stets zwischen 0 und 1 liegen muss (einschließlich dieser beiden Grenzen).

Die Thematik von Kapitel 1.1 wird in einem Lernvideo anhand einfacher Beispiele behandelt:

Wir betrachten wieder das Experiment Werfen eines Würfels. Die möglichen Ergebnisse sind $E_μ ∈ G =$ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definieren wir nun zwei Ereignisse $(I =$ 2), nämlich

• $A_1 =$ [die Augenzahl ist geradzahlig] = {2, 4, 6} und
• $A_2 =$ [die Augenzahl ist ungeradzahlig] = {1, 3, 5},

so ist die Ereignismenge { $A_1, A_2$} gleich der Grundmenge $G$. Die Ereignisse $A_1$ und $A_2$ stellen für dieses Beispiel ein so genanntes vollständiges System dar.

Dagegen ist die weitere Ereignismenge { $A_3, A_4$} ungleich der Grundmenge $G$, wenn man die beiden Einzelereignisse wie folgt definiert:

• $A_3 =$ [die Augenzahl ist kleiner als 3] = {1, 2},
• $A_4 =$ [die Augenzahl ist größer als 3] = {4, 5, 6}.

Hier beinhaltet die Ereignismenge { $A_3, A_4$} nicht das Element „3”. Die Wahrscheinlichkeiten der obigen Ereignisse sind Pr( $A_1$) = Pr( $A_2$) = Pr( $A_4$) = 1/2 und Pr( $A_3$) = 1/3.