Theory of Stochastic Signals/Stochastic System Theory

1. Theory of Stochastic Signals
2. Filterung stochastischer Signale
3. Stochastic System Theory

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Problemstellung

Wir betrachten wie im Buch Lineare zeitinvariante Systeme die unten skizzierte Anordnung, wobei das System sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$ als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$ eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Beschreibungsgrößen im Zeit- und Frequenzbereich ist durch die Fouriertransformation gegeben.

Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

• Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$:

$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$

Diese Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen.

• Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Eingangsspektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Spektrum $Y(f)$. Das Signal $y(t)$ lässt sich daraus durch die Fourierrücktransformation gewinnen.
• Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren. In diesem Fall muss auf die in Kapitel 4.5 definierten Leistungsdichtespektren übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum (1)

Wir betrachten nun einen ergodischen Zufallsprozess { $x(t)$}, dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es sind folgende Aussagen zutreffend:

• Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses { $x(t)$} angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.
• Das Amplitudenspektrum $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was eindeutig nicht der Fall sein kann.
• Ist entsprechend der nachfolgenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewandt werden.

• Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht dabei der folgende Zusammenhang:

$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot |X_{\rm T}(f)|^2.$$

Die Herleitung dieser wichtigen Beziehung folgt im nächsten Abschnitt. Sollten Sie sich für diesen mathematischen Beweis nicht interessieren, so können Sie gerne zum nachfolgenden Abschnitt Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals springen.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum (2)

Es folgt der Beweis der auf der letzten Seite angegebenen Beziehung $${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot |X_{\rm T}(f)|^2.$$

Beweis: In Kapitel 4.4 wurde die Autokorrelationsfunktion (AKF) eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ angegeben: $${{\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$ Es ist hier zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $–T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit der Spektralfunktion $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des Fourierintegrals und des Verschiebungssatzes: $${{\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{{\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$ Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich: $${{\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{{\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$ Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter: $${{\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}|X_{\rm T}(f)|^2 \cdot {\rm e}^{{\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$ Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von Wiener und [1], $${{\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{{\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$ zeigt die Gültigkeit der Beziehung: $${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot |X_{\rm T}(f)|^2.$$

q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals

Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis: $${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot |H(f)|^2.$$

Beweis: Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen: $${{\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} |X_{\rm T}(f)|^2, \hspace{0.15cm} {{\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} |Y_{\rm T}(f)|^2, \hspace{0.15cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$ Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man die obige Gleichung.

In Worten: Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang $H(f)$ ergibt sich als das Produkt

• von dem Eingangs–LDS ${\it Φ}_x(f)$
• und der Leistungsübertragungsfunktion $|H(f)|^2$.

Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit dem Frequenzgang $$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$ liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der (zweiseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0/2$ an. Dann gilt für das LDS des Ausgangssignals: $${{\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$$ Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters.

Das Eingangssignal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt; siehe hierzu das Lernvideo AWGN-Kanal – Teil 2. Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals

Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden: $${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$$ Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den Gesetzen der Fouriertransformation und durch Anwendung des Faltungssatzes: $${{\it \varphi}_y(\tau)} = {{\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$$ Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich $${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.2cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.2cm}{h(\tau)} \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.2cm}{h(-\tau)} \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$$ einzusetzen. Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.

Wir betrachten nochmals das Beispiel des letzten Abschnitts, aber diesmal im Zeitbereich.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.
• Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals. Diese ist wiederum gaußförmig.
• Der AKF–Wert bei $τ =$ 0 ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.
• Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$.

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal

Wir betrachten wieder ein Filter mit der Impulsantwort $h(t)$ sowie die stochastischen Signale $x(t)$ und $y(t)$ an seinem Eingang bzw. seinem Ausgang.

Dann gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal: $${{\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast {{\it \varphi}_x(\tau)} .$$ Hierbei bezeichnet $h(τ)$ die Impulsantwort des Filters (mit der Zeitvariablen $τ$ anstelle von $t$) und $φ_x(τ)$ die AKF am Filtereingang.

Beweis: Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$: $${{\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$ Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben: $${{\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$ Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man: $${{\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}} \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$ Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ – θ$: $${{\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast {{\it \varphi}_x(\tau)} .$$ Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.

Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung: $${{\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{{\it \Phi}_x(f)} .$$

Die beiden Gleichungen zeigen, dass der Filterfrequenzgang $H(f)$ aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

• die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF $φ_x(τ)$ oder das LDS ${\it Φ}_x(f)$,
• sowie die Kreuzkorrelationsfunktion $φ_{xy}(τ)$ bzw. deren Fouriertransformierte ${\it Φ}_{xy}(f)$.