Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.6: Rectangular-in-Time Low-Pass Filter"
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− | Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ | + | Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb $0$; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$. |
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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− | {Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung | + | {Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$. |
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− | $k =$ { 500 } 1/s | + | $k \ =$ { 500 3% } $\ \rm 1/s$ |
− | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ | + | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$ symmetrisches Rechteck der Dauer $T = 2 \ \rm ms$ und der Höhe $1 \ \rm V$. Es gelte $τ = 0$ . Welche Aussagen sind zutreffend? |
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- $y(t)$ ist rechteckförmig. | - $y(t)$ ist rechteckförmig. | ||
+ $y(t)$ ist dreieckförmig. | + $y(t)$ ist dreieckförmig. | ||
- $y(t)$ ist trapezförmig. | - $y(t)$ ist trapezförmig. | ||
− | + Der Maximalwert von $y(t)$ ist | + | + Der Maximalwert von $y(t)$ ist $\ \rm V$. |
Revision as of 18:56, 27 January 2017
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb $0$; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$ Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $τ = 0$ und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ = 0$ kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt = 2 \ \rm ms$): $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist: $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört bezieht sich auf die Seite Spalttiefpass.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
b) Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0:
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =
1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.
c) Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm
ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.
d) Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$
Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.
$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.
e) Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.
Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$.