Aufgaben:Exercise 4.1Z: Transmission Behavior of Short Cables

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Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge $l$ aus, so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt: $$U_2(f) = U_1(f) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l} \hspace{0.05cm}.$$ Hierbei beschreibt $\gamma(f)$ das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge $dx$, das mit den Belägen $R'$, $L'$, $G'$' und $C'$ (siehe Grafik) wie folgt dargestellt werden kann: $$\gamma(f) = \sqrt{(R' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L') \cdot (G' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C')} = \alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$ Der Realteil von $\gamma(f)$ ergibt das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$, der Imaginärteil das Phasenmaß $\beta(f)$. Nach einiger Rechnung kann man für diese Größen schreiben: $$\alpha(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (R' G' - \omega^2 \cdot L' C'\right)+ {1}/{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f},$$ $$\beta(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (-R' G' + \omega^2 \cdot L' C'\right)+ {1}/{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$ Beim Dämpfungsmaß ist zusätzlich die Pseudoeinheit „Neper (Np)” hinzuzufügen und beim Phasenmaß „Radian (rad)”.

Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen $\alpha(f)$ bzw. $\beta(f)$ die Einheiten „Np/km” bzw. „rad/km” auf.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße neben $\gamma(f)$ ist der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}(f)$, der an jedem Ort den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom der beiden laufenden Wellen angibt. Es gilt: $$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C'}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Ergebnisse der Leitungstheorie.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen jeweils die Zahlenwerte

$$R\hspace{0.03cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} 2\pi L' = 2\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} 2\pi C\hspace{0.03cm}' = 200\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Geben Sie $\alpha(f)$, $\beta(f)$ und $Z_{\rm W}(f)$ für die Frequenz $f = 0$ (Gleichstrom) an.

$\alpha(f = f_0) \ =$ $\ \rm Np/km$

$\beta(f = f_0) \ =$ $\ \rm rad/km$

$Z_W(f = f_0) \ =$ $\ \rm k \Omega$

2

Berechnen Sie das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ für $f = 100\ \rm kHz$.

$\alpha(f = 100\ \rm kHz) \ =$ $\ \rm Np/km$

3

Geben Sie für $f → \infty$ gültige Näherungen für $Z_{\rm W}(f)$ und $\alpha(f)$ an.

$ Z_W(f → \infty) \ =$ $\ \rm \Omega$

$\alpha(f → \infty)\ =$ $\ \rm Np/km$

4

Leiten Sie mit $\omega L' \ll R'$ und $\omega C' \gg G'$ eine $\alpha(f)$– Näherung für (nicht zu) kleine Frequenzen ab. Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für $ f = 1 \ \rm kHz$ und $ f = 4 \ \rm kHz$.

$\alpha(f = 1\  \rm kHz) \ =$ $\ \rm Np/km$

$\alpha(f = 4\ \rm kHz) \ =$ $\ \rm Np/km$

5

Geben Sie für den gleichen Frequenzbereich eine geeignete Näherung für den Wellenwiderstand $Z_{\rm W}(f)$ an. Welcher Wert ergibt sich für $ f = 1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}\{Z_W(f = 1\ \rm kHz)\} \ = $ $\ \rm \Omega$

${\rm Im}\{Z_W(f = 1\ \rm kHz)\} \ = $ $\ \rm \Omega$

Musterlösung

Solution

(1)  Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz $f = 0$ ein, so erhält man $$\alpha(f = 0) = [1\,{\rm Np}] \cdot \sqrt{{1}/{2}\cdot R' \cdot G'+ {1}/{2}\cdot R' \cdot G'} = [1\,{\rm Np}] \cdot \sqrt{ R' \cdot G'} = [1\,{\rm Np}] \cdot \sqrt{ 100\,{\rm \Omega/km} \cdot 10^{-6}\,{\rm (\Omega \cdot km})^{-1}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.01\,{\rm Np}/{ {\rm km}} }\hspace{0.05cm},$$ $$\beta(f = 0) = [1\,{\rm rad}] \cdot \sqrt{-{1}/{2}\cdot R' \cdot G'+ {1}/{2}\cdot R' \cdot G'} \hspace{0.15cm}\underline{= 0 }\hspace{0.05cm},$$

$$Z_{\rm W}(f = 0) = \sqrt{\frac {R'}{G'}} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km}}{{\rm 10^{-6}/(\Omega \cdot km})}}\hspace{0.15cm}\underline{= 10\, {\rm k \Omega}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichsignaldämpfung wird relevant,

• wenn das Nutzsignal im Basisband übertragen werden soll und einen Gleichanteil besitzt, oder
• wenn der Netzabschluss beim Teilnehmer von der Ortsvermittlungsstelle aus mit Leistung versorgt werden muss (Fernspeisung).

(2)  Mit $f = 10^{5} \ \rm Hz$ und den angegebenen Werten gilt $$f \cdot 2\pi L' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm \Omega \cdot s}{ {\rm km}}= 200 \,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$ $$f \cdot 2\pi C' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot 10^{-7}\,\frac{\rm s}{ {\rm \Omega \cdot km}}= 0.02 \,\frac{\rm 1 }{ {\rm \Omega \cdot km}} \hspace{0.05cm}.$$ Damit ergibt sich für das Dämpfungsmaß in „Np/km”: $$\alpha(f = 100\,{\rm kHz}) = \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (100 \cdot 10^{-6} - 200 \cdot 0.02 \right)+ {1}/{2} \cdot \sqrt{(100^2 + 200^2) \cdot (10^{-12} + 0.02^2)}} $$ $$ \Rightarrow \; \; \alpha(f = 100\,{\rm kHz}) \approx \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (10^{-4} - 4 \right)+ {1}/{2}\cdot \sqrt{5 \cdot 10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{-4}}} \approx \sqrt {-2 + \frac{\sqrt{20}}{ 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.486 \ {\rm Np/km}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Der Grenzübergang bezüglich des Wellenwiderstands für $f → \infty$ ergibt sich, wenn man im Zähler $R'$ und im Nenner $G'$ gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt: $$\lim_{f \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} Z_{\rm W}(f) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C'}} =\sqrt{\frac {2 \pi L' }{2 \pi C'}}=\sqrt{\frac {2 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \cdot s} } {2 \cdot 10^{-73}\,{\rm s/\Omega} }} \hspace{0.15cm}\underline{= 100\,{\rm \Omega }}\hspace{0.05cm}.$$ Die Näherung für die Dämpfungsfunktion ist schwieriger herzuleiten. Ausgehend von $$\alpha(\omega) = \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (R' G' - \omega^2 \cdot L' C'\right)+ {1}/{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}}$$ gilt dann ebenfalls: $$2 \cdot \alpha^2(\omega) = R' G' + \omega^2 \cdot L' C'\cdot \left [-1 +\sqrt{(1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}) \cdot (1 + \frac{G'^2}{ \omega^2 \cdot C'^2})} \hspace{0.1cm} \right] \approx R' G' + \omega^2 \cdot L' C'\cdot \left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G'^2}{ \omega^2 \cdot C'^2}} \hspace{0.1cm} \right]$$ Über die für kleine $x$ gültige Näherung $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$ kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen: $$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = R' G' + \omega^2 \cdot L' C'\cdot \left [ -1 +1 + {1}/{2} \cdot \left ( \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G'^2}{ \omega^2 \cdot C'^2} \right) \hspace{0.1cm} \right] $$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = \frac{2 \cdot R' G' C' L'+ R'\hspace{0.03cm}^2 C'\hspace{0.03cm}^2+ G'\hspace{0.03cm}^2 L'\hspace{0.03cm}^2}{2 \cdot C' L' }= \frac{(R' C' + G' L')^2}{2 \cdot C' L' }$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(\omega \rightarrow \infty) = {1}/{2}\cdot \frac{R' C' + G' L'}{\sqrt{ C' L' }}= {1}/{2}\cdot \left [R' \cdot \sqrt{\frac{C'}{L'}}+G' \cdot \sqrt{\frac{L'}{C'}}\right]\hspace{0.05cm}.$$ Mit den eingesetzten Zahlenwerten ergibt sich $$\alpha(f \rightarrow \infty) = \alpha(\omega \rightarrow \infty) = {0.5\,{\rm Np/km}}\cdot \left [100 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot10^{-3}}}+10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot10^{-3}}{2 \cdot10^{-7}}}\right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.5 \, {\rm Np}/{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Für kleine Frequenzen gilt $\omega L' \ll R'$ und $ \omega C' \gg G'$. Damit erhält man für das Dämpfungsmaß unter Vernachlässigung des $\omega^2$–Anteils: $$\alpha(f) = \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (R' G' - \omega^2 \cdot L' C'\right)+ \frac {1}{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(f) \approx \sqrt{\frac {R' G'}{2}+ \frac {R' \cdot \omega C'}{2}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f} \approx \sqrt{ {1}/{2} \cdot f \cdot R' \cdot 2 \pi C'} \hspace{0.05cm}.$$ Hierbei ist berücksichtigt, dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe (1) außer bei der Frequenz $f = 0$ direkt vernachlässigt werden kann.

• Für die Frequenz $f = 1 \ \rm kHz$ ergibt sich die Näherung

$$\alpha(f = 1\,{\rm kHz}) = \sqrt{ {1}/{2} \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 100\,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \,\frac{\rm s }{ {\rm \Omega \cdot km}}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm Np }/{ {\rm km}}} \hspace{0.05cm}.$$

• Für die Frequenz $f = 1 \ \rm kHz$ ist das Dämpfungsmaß doppelt so groß:

$$\alpha(f = 4\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.2\,{\rm Np }/{ {\rm km}}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Für den Wellenwiderstand gilt bei niedrigen Frequenzen näherungsweise $$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi L'}{G' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi C'}} \approx \sqrt\frac{1 }{ {\rm j}} \cdot \sqrt{\frac {R' }{ f \cdot 2 \pi C'}}= (1 - {\rm j})\cdot \sqrt{\frac {R' }{ 2 \cdot f \cdot 2 \pi C'}}\hspace{0.05cm}.$$ Mit den angegebenen Leitungsbeschlägen erhält man $${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km }}{ 2 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \,{\rm s/(\Omega \cdot km) }}} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\,{\rm \Omega}}\hspace{0.05cm},$$ $$ {\rm Im}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = -{\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\}\hspace{0.15cm}\underline{= -500\,{\rm \Omega}}\hspace{0.05cm}.$$