Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.
*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
===Fragebogen===
===Fragebogen===
Line 12:
Line 23:
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
|type="{}"}
|type="{}"}
$Pr(Y=0) = $ { 0.5 3% }
$Pr(Y=0) \ = $ { 0.5 3% }
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $I$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
|type="{}"}
|type="{}"}
$ I = $ { 5 3% }
$ I \ = $ { 5 3% }
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in $2)$ ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_\max$? Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
2. $S$ kann insgesamt 5 Werte annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
3.Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
4. Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.
