Aufgaben:Exercise 3.8Z: Circle (Ring) Area

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Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:

• Der Radius $r$ und die Fläche $A$ lassen sich als Zufallsgrößen auffassen, die voneinander abhängen.
• Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich $6 \le r \le 8$ beschränkt ist.

In der oberen Skizze ist der Bereich, in dem solche Kreise (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung) liegen können, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist: $$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

Ab der Teilaufgabe (5) werden schmale Kreisringe mit dem Mittelradius $r$ und der Breite $b$ betrachtet (untere Skizze):

• Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit $R$ bezeichnet.
• Die möglichen Mittelradien $r$ seien wieder gleichverteilt zwischen $6$ und $8$, und die Kreisringbreite beträgt $b = 0.1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgröße.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Transformation von Zufallsgrößen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie die Transformationskennlinie $A = g(r)$ analytisch an. Wie groß ist der Minimalwert der Zufallsgröße $A$?

$A_\text{min} \ = $

2

Wie groß ist der Maximalwert der Zufallsgröße $A$?

$A_\text{max} \ = $

3

Welcher Wert $m_{\rm A} = {\rm E}[A]$ ergibt sich für die „mittlere” Kreisfläche?

$m_{\rm A} \ = $

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße $A$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche $A$ größer als $150$ ist?

${\rm Pr}(A > 150) \ = $

5

Welche WDF besitzt die Zufallsgröße $R$ (Fläche der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)? Wie groß ist deren Minimalwert? Es gelte $b = 0.1$.

$b=0.1$:     $R_\text{min} \ = $

6

Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgröße $R$?

$b=0.1$:     $R_\text{max} \ = $

7

Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $R$?

$b=0.1$:     ${\rm E}[R] \ = $

Musterlösung

Solution

1.  Die Gleichung der Kreisfläche ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: A = π · r². Daraus ergibt sich mit r = 6 für den Minimalwert:   A_min = 113.09.

2.  Entsprechend gilt mit r = 8 für den Maximalwert:

  A_max = 201.06.

3.  Am einfachsten löst man diese Aufgabe wie folgt:

$$m_{A}=\rm E[\it A]=\rm E[\it g(r)]=\int\limits_{\rm -\infty}^{\rm +\infty}g(r)\cdot f_r(r)dr.$$

Mit g(r) = π · r² und f_r(r)  = 1/2 im Bereich von 6 ... 8 erhält man:

$$m_{A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}\frac{\rm 1}{\rm 2}\cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, \rm d \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot(\rm 8^3-6^3) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$

4.  Die WDF der transformierten Zufallsgröße A lautet:

$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$

Im Bereich zwischen 113.09 und 201.06 (siehe Teilaufgaben a und b) gilt dann:

$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man durch Integration:

$$\rm Pr(\it A> \rm 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$

Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert 4 und die untere Grenze 3.455. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu 0.545.

5.  Für die Kreisringfläche R gilt bei gegebenem Radius r:

$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left (r-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$

Zwischen R und r besteht also ein linearer Zusammenhang.  ⇒  R ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabhängig von der Breite b, solange b sehr viel kleiner als r ist. Für den Minimalwert gilt:

$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

6.  Entsprechend ist der Maximalwert:

$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$

7.  Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen der Kreisringfläche R und des Radius r führt der mittlere Radius r = 7 auch zur mittleren Kreisringfläche:

$$\rm E[R]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$