Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.2Z: Correlation between "x" and "e to the power of x""
From LNTwww
Line 7: | Line 7: | ||
*der Mittelwert $m_x = 0$, und | *der Mittelwert $m_x = 0$, und | ||
*die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$. | *die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$. | ||
+ | |||
Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen. | Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen. | ||
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]: | Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]: | ||
− | :$$f_y(y) = {\rm 1}/{\rm 2\it y}. $$ | + | :$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$ |
Line 25: | Line 26: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße | + | {Wie groß ist der Mittelwert $m_y$ der Zufallsgröße $y$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $m_y$ | + | $m_y \ = $ { 1.175 3% } |
− | {Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgröße | + | {Berechnen Sie die Streuung $\sigma_y$ der Zufallsgröße $y$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\sigma_y$ | + | $\sigma_y \ = $ { 0.658 3% } |
− | {Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF | + | {Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Außerhalb der Kurve | + | + Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist $f_{xy}(x, y)= 0$. |
− | - Für alle Werte ( | + | - Für alle Werte ($x, {\rm e}^x$ ist die WDF $f_{xy}(x, y)$ konstant. |
− | + Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve | + | + Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve $y = {\rm e}^x$. |
+ Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab. | + Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab. | ||
− | {Berechnen Sie das gemeinsame Moment der Zufallsgrößen | + | {Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ der Zufallsgrößen $x$ und $y$, also den Erwartungswert des Produkts $x \cdot y$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $m_ | + | $m_{xy}\ = $ { 0.367 3% } |
− | {Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen den Zufallsgrößen | + | {Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ zwischen den Zufallsgrößen $x$ und $y$. |
+ | <br>Interpretieren Sie das Ergebnis. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\rho_ | + | $\rho_{xy}\ = $ { 0.967 3% } |
Revision as of 18:06, 18 March 2017
Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$. Damit ist
- der Mittelwert $m_x = 0$, und
- die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.
Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip Transformation von Zufallsgrößen:
- $$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
- $$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Der Mittelwert my kann in bekannter Weise aus der WDF fy(y) ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte:
- $$m_y=\rm E[\it y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = \rm\frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{1}\rm e^{\it x}\,\,{\rm d}x=\rm \frac{1}{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$
- 2. Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße y gilt:
- $$m_{\rm 2 \it y} = \rm E[\it y^{\rm 2}] = \rm E[\rm e^{\rm 2\it x}]= \frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{+1}\rm e^{\rm 2\it x}\it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-e^{-2}) = 1.813.$$
- Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:
- $$\sigma_y^{\rm 2} = m_{\rm 2 \it y}- m_{\it y}^2 = \frac{1}{4}\cdot(\rm e^{2}-e^{-2})-\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-2+e^{-2})=\rm \frac{1}{2}\cdot(1-e^{-2})=0.432 \\ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
- 3. Außerhalb der Kurve y = ex ist die WDF natürlich 0. Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich 1 sein muss, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich y = ex unendlich groß. Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF fy(y) mit steigenden y nimmt die Höhe dieser Diracwand von (–1, 1/e) bis zu (+1, e) kontinuierlich ab ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.
- 4. Für das gemeinsame Moment gilt:
- $$m_{xy} = \rm E[\it x\cdot y] = \rm E[\it x\cdot \rm e^{\it x}].$$
- Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
- $$m_{xy} \approx \rm E[\it x] + \rm E[\it x^{\rm 2}] + \rm \frac{1}{2} \cdot E[\it x^{\rm 3}] + \rm \frac{1}{6} \cdot E[\it x^{\rm 4}]+ \rm\frac{1}{24} \cdot E[\it x^{\rm 5}].$$
- Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße x gilt für alle ungeradzahligen Werte von k:
- $$\rm E[\it x^{k}] =\rm 0.$$
- Weiterhin gilt:
- $$\rm E[\it x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \rm\frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} \rm E[\it x^{\rm 4}] = \rm\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\it x^{\rm 4} \it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}.$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{xy} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
- e) Wegen mx = 0 gilt μxy = mxy. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
- $$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
- Zwischen x und y besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch viele nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient ρxy ≠ 1.