Aufgaben:Exercise 4.7: Weighted Sum and Difference

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Die Zufallsgrößen u und υ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert m und Varianz σ². Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF; über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt.

Es werden nun zwei neue Zufallsgrößen x und y entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:

$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$

$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$

Hierbei bezeichnen A und B (beliebige) konstante Werte. Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte m = 0, σ = 1, A = 1 und B = 2.

Bei der Teilaufgabe (5) wird vorausgesetzt, dass u und υ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert m = 1 und Streuung σ = 0.5 seien. Für die Konstanten gelte A = B = 1.

Für die Aufgabe (6) seien die Zufallsgrößen u und υ symmetrisch zweipunktverteilt auf ±1:

$${\rm Pr}(u=1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$

Außerdem gelte weiterhin A = B = 1.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Drehung des Koordinatensystems.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Gegeben sind die Näherungen ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$ und ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
• Nachfolgend gibt es Hyperlinks zu zwei Lernvideos, die diese Thematik behandeln:

Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen

Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.

Fragebogen

1

Wie groß sind Mittelwert und Streuung von x für A = 1 und B = 2?

$m_x$ =

$\sigma_x$ =

2

Wie groß sind Mittelwert und Streuung von y für A = 1 und B = 2?

$m_y$ =

$\sigma_y$ =

3

Berechnen Sie die Kovarianz. Welcher Wert ergibt sich für A = 1, B = 2?

$\mu_\text{xy}$ = -

4

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ_xy in Abhängigkeit des Quotienten B/A. Welcher Koeffizient ergibt sich für A = 1 und B = 2?

$\rho_\text{xy}$ = -

5

Welche der folgenden Aussagen gelten immer?

	Für B = 0 sind die Zufallsgrößen x und y streng korreliert.
	Es gilt ρxy(–B/A) = –ρxy(B/A).
	Im Grenzfall B/A → ∞ sind x und y streng korreliert.
	Für A = B sind die Zufallsgrößen x und y unkorreliert.

6

Welche Aussagen sind zutreffend, wenn A = B = 1 gilt und u und υ jeweils gaußverteilt sind mit Mittelwert m = 1 und Streuung σ = 0.5?

	Die Zufallsgrößen x und y sind unkorreliert.
	Die Zufallsgrößen x und y sind statistisch unabhängig.

7

Welche Aussagen treffen zu, wenn u und υ symmetrisch zweipunktverteilt sind und A = B = 1 gilt?

	Die Zufallsgrößen x und y sind unkorreliert.
	Die Zufallsgrößen x und y sind statistisch unabhängig.

Musterlösung

Solution

1. Da die Zufallsgrößen u und υ mittelwertfrei sind (m = 0), ist auch die Zufallsgröße x mittelwertfrei: m_x = (A + B) · m = 0. Für die Varianz und die Streuung gelten:

$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$

2. Da u und υ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch σ_y = σ_x ≈ 2.236. Wegen m = 0 gilt zudem m_y = 0. Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen u und υ ergäbe sich für m_y = (A – B) · m dagegen ein anderer Wert als für m_x = (A + B) · m.

3. Wir gehen hier von dem allgemeineren Fall m ≠ 0 aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment:

$$m_{xy} = {\rm E} [x \cdot y ] = {\rm E} [(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)] . $$

Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus:

$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} [u^2 ] - B^2 \cdot {\rm E} [v^2 ] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$

Die Kovarianz ergibt sich dann zu

$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= \\ = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$

Mit A = 1, B = 2, σ = 1 erhält man μ_xy = –3, unabhängig vom Mittelwert m der Größen u und υ.

4. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu

$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} $$

$$\Rightarrow \rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$

Mit B/A = 2 folgt daraus ρ_xy = –0.6.

5. Aus B = 0 folgt ρ_xy = 1 (strenge Korrelation). Aus den Gleichungen für x und y erkennt man weiter, dass in diesem Fall x und y identische Zufallsgrößen sind.

Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für A = 1 und B = –2 ergibt sich ebenfalls ρ_xy = –0,6. Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der unter (d) berechneten Gleichung B/A nur quadratisch auftritt.

Ist B sehr viel größer als A, so werden sowohl x als auch y fast ausschließlich durch die Zufallsgröße υ bestimmt und es ist y ≈ –x. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten ρ_xy = –1. Dagegen ergibt sich für B/A = 1 stets der Korrelationskoeffizient ρ_xy = 0 und damit die Unkorreliertheit zwischen x und y.

Richtig sind somit die Aussagen 1, 3 und 4.

6. Bei A = B sind x und y stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Größen u und υ) unkorreliert. Die neuen Zufallsgrößen x und y sind ebenfalls gaußverteilt. Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt. Also sind beide Aussagen richtig.

7. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit A = B = 1 auch hier zu ρ_xy = 0. Das heißt, dass x und y unkorreliert sind. Dagegen erkennt man aus der nachfolgend skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt: f_xy(x, y) ≠ f_x(x) · f_y(y). Hier ist also nur die Aussage 1 zutreffend.