Aufgaben:Exercise 4.8: Diamond-shaped Joint PDF

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Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße $(x, y)$, deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen $u$ und $v$ ergeben:

$$x=2u-2v+1,$$

$$y=u+3v.$$

Weiter ist zu beachten:

• Die zwei statistisch unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ sind jeweils gleichverteilt zwischen $0$ und $1$.
• In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF. Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:   $f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}.$
• Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich:   $f_{xy}(x, y) = 0$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf die Seite Korrelationsgerade.
• Gehen Sie - wenn möglich - von den zwei angegebenen Gleichungen aus und nutzen Sie die Informationen der obigen Skizze vorwiegend nur zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Höhe $H$ der 2D–WDF innerhalb des Parallelogramms?

$H \ =$

2

Welche Werte von $u$ und $v$ liegen dem Eckpunkt $(-1, 3)$ zugrunde?

$u \ =$

$v \ =$

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$.

$\rho_{xy}\ =$

4

Wie lautet die Korrelationsgerade $y=K(x)$? Bei welchem Punkt $y_0$ schneidet diese die $y$-Achse?

$y_0\ =$

5

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ negativ ist.

${\rm Pr}(x < 0)\ =$

6

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $y >3$ ist?

${\rm Pr}(y > 3)\ =$

Musterlösung

Solution

1.  Die Fläche des Parallelogramms kann aus zwei gleich großen Dreiecken zusammengesetzt werden. Die Fläche des Dreiecks (1,0)(1,4)(–1,3) ergibt 0.5 · 4 · 2 = 4. Somit ist die Gesamtfläche F = 8. Da das WDF-Volumen stets 1 ist, gilt H = 1/F = 0.125.

2.  Der minimale Wert von x ergibt sich für u = 0 und υ = 1. Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse x = –1 und y = 3.

3.  Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, d. h. für jede beliebige WDF der beiden statistisch unabhängigen Größen u und υ, so lange diese gleiche Streuungen aufweisen.

Mit A = 2, B = –2, D = 1 und E = 3 erhält man:

$$\rho_{xy } = \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$

4.  Die Korrelationsgerade lautet allgemein:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$

Aus den linearen Mittelwerten m_u = m_υ = 0.5 und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erhält man m_x = 1 und m_y = 2.

Die Varianzen von u und υ betragen jeweils 1/12. Daraus folgt:

$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$

$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$

Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein, so ergibt sich:

$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - \frac{x}{2} + 2.5.$$

Daraus folgt der Wert y₀ = 2.5.

5.  Mit den Hilfsgrößen q = 2u, r = –2υ und s = x – 1 gilt der Zusammenhang: s = q + r. Da u und υ jeweils zwischen 0 und 1 gleichverteilt sind, besitzt q eine Gleichverteilung im Bereich von 0 bis 2 und r eine Gleichverteilung zwischen –2 und 0.

Da zudem q und r nicht statistisch voneinander abhängen, gilt für die WDF der Summe:

$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$

Die Addition x = s + 1 führt zu einer Verschiebung der Dreieck–WDF um 1 nach rechts. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (im folgenden Bild grün hinterlegt) gilt deshalb: Pr(x < 0) = 0.125.

6.  Analog zur Musterlösung für die Teilaufgabe e) gilt mit t = 3υ:

$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$

Die Faltung zwischen zwei unterschiedlich breiten Rechteckfunktionen ergibt ein Trapez. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man Pr(y > 3) = 1/6. Diese ist im nachfolgenden Bild grün hinterlegt.