Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.10: Binary and Quaternary"

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{Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.
 
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$\varphi_x(\tau = 0) \ =$  { 3.667 3% } $\ \rm  V^2$
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$\varphi_q(\tau = 0) \ =$  { 3.667 3% } $\ \rm  V^2$
  
  
{Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > =T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.
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{Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.
 
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$\varphi_x(\tau = T) \ =$ { 0. } $\ \rm V^2$
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$\varphi_q(\tau = T) \ =$ { 0. } $\ \rm V^2$
  
  
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===Musterlösung===
 
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:<b>a)</b>&nbsp;&nbsp;Der AKF-Wert an der Stelle <i>&tau;</i> = 0 entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von <i>q</i>(<i>t</i>). F&uuml;r diesen gilt:
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'''(1)'''&nbsp; Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. F&uuml;r diesen gilt:
:$$\varphi_q(\tau = \rm 0)=  \rm \frac{1}{6 } (\rm 3\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm 1\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm -1\,V)^2 + \rm \frac{1}{6 } (\rm -3\,V)^2= \rm \frac{22}{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
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:$$\varphi_q(\tau = 0)=  {1}/{6 } \cdot  ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabh&auml;ngig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier f&uuml;r jeden ganzzahligen Wert von <i>&nu;</i>:
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'''(2)'''&nbsp; Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabh&auml;ngig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier f&uuml;r jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
:$$\rm E \left [ \it q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = \rm E \left [ \it q(t) \right ] \cdot E \left [ \it q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
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:$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E\left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
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:Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich -<i>T</i> &#8804; <i>&tau;</i> &#8804; <i>T</i> ist die AKF aufgrund der rechteckf&ouml;rmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckf&ouml;rmig.
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Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckf&ouml;rmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckf&ouml;rmig.
  
:<b>3.</b>&nbsp;Die AKF <i>&phi;<sub>b</sub></i>(<i>&tau;</i>) des Bin&auml;rsignals ist aufgrund der statistisch unabh&auml;ngigen Symbole im Bereich |<i>&tau;</i>| > <i>T</i> ebenfalls identisch 0, und für -<i>T</i> &#8804; <i>&tau;</i> &#8804; <i>T</i> ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.
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'''(3)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Bin&auml;rsignals ist aufgrund der statistisch unabh&auml;ngigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. F&uuml;r den quadratischen Mittelwert erh&auml;lt man:
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:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
  
:F&uuml;r den quadratischen Mittelwert erh&auml;lt man:
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Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$  und $\varphi_b(\tau)$ identisch.
:$$\varphi_b (\tau = \rm 0) =\it b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
 
  
:Mit <u><i>b</i><sub>0</sub> = 1.915V</u> sind die beiden Autokorrelationsfunktionen <i>&phi;<sub>q</sub></i>(<i>&tau;</i>) und <i>&phi;<sub>b</sub></i>(<i>&tau;</i>) identisch.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
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*die Periodendauer $T_0$ (diese ist f&uuml;r die Mustersignale und die AKF gleich),
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* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$, und
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* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).  
  
:<b>4.</b>&nbsp;Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich ermitteln:
 
  
:*die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> (diese ist f&uuml;r die Mustersignale und die AKF gleich),
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Nicht ermittelt werden k&ouml;nnen:
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* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
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* die Momente h&ouml;herer Ordnung (f&uuml;r deren Berechnung ben&ouml;tigt man die WDF), sowie
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* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.
  
:* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF f&uuml;r <i>&tau;</i> &#8594; &#8734;), und
 
 
:* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von <i>&tau;</i> = 0 und <i>&tau;</i> &#8594; &#8734;).
 
 
:Nicht ermittelt werden k&ouml;nnen:
 
 
:* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (siehe Punkt b und c),
 
 
:* die Momente h&ouml;herer Ordnung (f&uuml;r deren Berechnung ben&ouml;tigt man die WDF), sowie
 
 
:* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.
 
 
:Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.
 
 
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Revision as of 14:34, 24 March 2017

Binär- und Quaternärsignal

Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:

  • Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
  • Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
  • Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
  • Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
$${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$
  • Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
$${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$
$${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.

$\varphi_q(\tau = 0) \ =$

$\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.

$\varphi_q(\tau = T) \ =$

$\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?

$b_0\ =$

$\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

Periodendauer.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Linearer Mittelwert.
Varianz.
Moment 3. Ordnung.
Phasenbeziehungen.


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:

$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$

(2)  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:

$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
Dreieckförmige AKF

Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

(3)  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:

$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:

  • die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
  • der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und
  • die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).


Nicht ermittelt werden können:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
  • die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
  • alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.