Aufgaben:Exercise 4.10Z: Correlation Duration

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Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale zweier Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ mit jeweils gleicher Leistung $P_x = P_y = 5\hspace{0.05 cm} \rm mW$. Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm \Omega$. Der Prozess $\{x_i(t)\}$

• ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
• besitzt die gaußförmige AKF

$$\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$$

• und weist eine äquivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_x = 5\hspace{0.05 cm}\rm \mu s $ auf.

Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, hat der Prozess $\{y_i(t)\}$ sehr viel stärkere innere statistische Bindungen als der Prozess $\{x_i(t)\}$.

Oder anders ausgedrückt: Der Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$ ist niederfrequenter als $\{x_i(t)\}$. Die äquivalente AKF-Dauer ist $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm \mu s $.

Aus der Skizze ist auch zu erkennen, dass $\{y_i(t)\}$ im Gegensatz zu $\{x_i(t)\}$ nicht gleichsignalfrei ist. Der Gleichsignalanteil beträgt vielmehr $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Interpretation der Autokorrelationsfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welchen Effektivwert $(\sigma_x)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{x_i(t)\}$?

$\sigma_x \ = $ $\ \rm V$

2

Welche AKF-Werte ergeben sich für $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm \mu s$ bzw. $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm \mu s$?

$\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm \mu s}) \ = $ $\ \rm mW$

$\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm \mu s}) \ = $ $\ \rm mW$

3

Wie groß ist die Korrelationsdauer $T_{\rm K}$, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die Hälfte des Maximums abgefallen ist?

$T_{\rm K} \ = $ $\ \rm \mu s$

4

Welchen Effektivwert $(\sigma_y)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{y_i(t)\}$?

$\sigma_y \ = $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie die AKF $\varphi_x(\tau)$. Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm \mu s$? Welcher AKF-Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?

$\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm \mu s}) \ = $ $\ \rm mW$

Musterlösung

Solution

1.  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu R · P_x = 50 Ω · 5 mW = 0.25 V². Daraus folgt der Effektivwert σ_x = 0.5V.

2.  Wegen P_x = φ_x(τ = 0) gilt für die AKF allgemein:

$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

Daraus erhält man:

$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$

$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$

3.  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:

$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt T_K = 2.35 μs. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für T_K/∇τ_x.

4. Wegen P_x = P_y sind die quadratischen Mittelwerte von x und y gleich, und zwar jeweils 0.25 V². Unter Berücksichtigung des Mittelwertes m_y = –0.3 V gilt:

$$m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 V^2.$$

Daraus folgt σ_y = 0.4 V.

5.  Bezogen auf den Einheitswiderstand R = 1 Ω lautet die AKF des Prozesses {y_i(t)}:

$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$

Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf. Bezogen auf den Widerstand R = 50 Ω ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:

$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.1cm} \atop \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$

Daraus folgt:

$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}$$

mit dem Zahlenwert 1.938 mW bei τ = 10 μs. Bei positivem Mittelwert m_y (mit gleichem Betrag) würde sich an der AKF nichts ändern, da m_y in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.