Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.5: ACF-equivalent Filters"
From LNTwww
Line 10: | Line 10: | ||
:$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$ | :$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$ | ||
− | Die beiden Verzögerungszeiten von Filter 1 sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. Die Verzögerungen von Filter 2 sind doppelt so lang. | + | Die beiden Verzögerungszeiten von $\text{Filter 1}$ sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. Die Verzögerungen von $\text{Filter 2}$ sind doppelt so lang. |
− | Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von Filter 2 sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $| | + | Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von $\text{Filter 2}$ sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $|a_1| < |a_0|$. |
Line 23: | Line 23: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche Aussagen sind bezüglich Filter 1 zutreffend? | + | {Welche Aussagen sind bezüglich $\text{Filter 1}$ zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter. | + Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter. | ||
− | + Die Ordnung des Filters ist | + | + Die Ordnung des Filters ist $M = 2$. |
− | - Der Filterkoeffizient | + | - Der obere Filterkoeffizient ist gleich $a_0 =+1$. |
− | {Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge | + | {Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\sigma_y$ | + | $\sigma_y \ = $ { 0.913 3% } |
− | {Berechnen Sie die AKF-Werte | + | {Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A}) für $k = 1$ und $k = 2$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0. } |
− | $\ | + | $\varphi_y(2T_{\rm A}) \ = $ { -0.339--0.327 } |
− | {Bestimmen Sie die Koeffizienten | + | {Bestimmen Sie die Koeffizienten von $\text{Filter 2}$ so, dass $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ die gleiche AKF besitzen. Wie lautet der Quotient $a_1/a_0$ für $|a_1| < |a_0|$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a_1/a_0$ | + | $a_1/a_0 \ = $ { -0.515--0.485 } |
{Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu? | {Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | - $f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind identisch. |
− | + | + | + $f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind im Allgemeinen unterschiedlich. |
− | + Bei Gaußscher Eingangsgröße wären | + | + Bei Gaußscher Eingangsgröße wären $f_y(y)$ und $f_z(z)$ gleich. |
</quiz> | </quiz> |
Revision as of 11:10, 20 April 2017
Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:
- Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$.
- Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
- $$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$
Die beiden Verzögerungszeiten von $\text{Filter 1}$ sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. Die Verzögerungen von $\text{Filter 2}$ sind doppelt so lang.
Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von $\text{Filter 2}$ sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $|a_1| < |a_0|$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten α0 = –1, α1 = 0.707 und α2 = 1. Richtig sind somit die beiden ersten Lösungsvorschläge.
- 2. Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für k = 0. Für diesen erhält man:
- $$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
- Damit ergibt sich für die Streuung (für den Effektivwert):
- $$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
- Hinweis: Die Koeffizienten von Filter 1 sind hier mit α0, α1, α2 („alphas”) bezeichnet.
- 3. Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:
- $$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
- $$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{ = - {1}/{3}}.$$
- 4. Da φy(TA) = 0 ist, kann bei geeigneter Wahl von a0 und a1 erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von Filter 2 identisch ist mit der unter Punkt c) berechneten AKF. Mit TA' = 2 · TA gilt:
- $$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
- $$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$
- Mit der Hilfsgröße H = a02 führt dies zu der Bestimmungsgleichung
- $$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
- Die beiden Lösungen sind H1 = 2 und H2 = 0.5. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
- $$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
- $$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$
- Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung |a0| > |a1| nicht erfüllt. Bei den beiden oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
- $$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$
- 5. Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße x) sind die Dichtefunktionen fy(y) und fz(z) unterschiedlich. fz(z) ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von fy(y) müssen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
- Bei Gaußscher Eingangsgröße x sind auch y und z gaußverteilt, und wegen my = mz und σy = σz gilt auch fz(z) = fy(y). Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 3.