Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.5Z: ACF after 1st Order Filter"
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+ | *Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. | ||
+ | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll. | ||
− | + | Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ | |
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+ | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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− | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn | + | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn$K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. |
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− | - Der AKF-Wert | + | - Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. |
− | + Alle AKF-Werte | + | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind $0$. |
− | + Das LDS | + | + Das LDS ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. |
− | {Berechnen Sie die AKF-Werte | + | {Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$. |
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− | $\ | + | $\varphi_y(0) \ = $ { 0.25 3% } |
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0.12 3% } |
− | {Welche Werte muss man für | + | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF-Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a_0$ | + | $a_0 \ = $ { 0.8 3% } |
− | $a_1$ | + | $a_1 \ = $ { 0.6 3% } |
− | {Es gelte wieder | + | {Es gelte wieder $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $K$ | + | $K \ = $ { 0.5 3% } |
− | {Berechnen Sie mit diesem Wert | + | {Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF-Werte für $k = 1$ und $k = 2$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0.37 3% } |
− | $\ | + | $\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = $ { 0.25 3% } |
− | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung | + | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\sigma_y$ | + | $\sigma_y \ = $ { 0.5 3% } |
Revision as of 12:07, 20 April 2017
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ($M = 1$).
- Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
- Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$
- sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
- besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion sowie Leistungsdichtespektrum.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Der AKF-Wert φy(0) gibt die Varianz (Leistung) σx2 an, nicht die Streuung (Effektivwert) σx. Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte φy(k · TA) = 0 für k ≥ 2. Der AKF-Wert φy(–TA) ist gleich φy(TA). Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil φy(0) hinzuaddiert. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.
- 2. Die allgemeine Gleichung lautet mit M = 1 für k ∈ {0, 1}:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
- Daraus erhält man mit σx = 1:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
- 3. Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz σy2 = 0.25 und damit die Streuung σy = 0.5. Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht σy = 1:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
- 4. Die Konstante K hebt die gesamte AKF um K2 an. Mit dem Ergebnis aus (b) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
- 5. Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert K2 = 0.25 größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},\\ \varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
- 6. Durch die Konstante wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin σy = 0.5. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wieder σy = 0.5.