Aufgaben:Exercise 1.5Z: Symmetrical Markov Source

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Betrachtetes binäres Markovdiagramm

In der Aufgabe 1.5 wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von $\rm A$ nach $\rm B$ und von $\rm B$ nach $\rm A$ unterschiedlich waren. In dieser Aufgabe soll nun gelten:

$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1)

\hspace{0.05cm}.$$

Alle in der Aufgabe 1.5 angegebenen Gleichungen gelten auch hier:

• Entropie:

$$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm BA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm BB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}

\hspace{0.05cm},$$

• Erste Entropienäherung:

$$H_{\rm 1} = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm B}}

\hspace{0.05cm},$$

• k–te Entropienäherung ($k = 2, 3$, ...):

$$H_k = {1}/{k} \cdot [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H]

\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}H  =  \lim_{k \rightarrow \infty } H_k  \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Binärquellen mit Markoveigenschaften.
• Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit „bit/Symbol” hinzuzufügen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Symbolwahrscheinlichkeiten für die Übergangswahrscheinlichkeit $q = 1/4$.

$p_{\rm A} \ = $

$p_{\rm B} \ = $

2 Berechnen Sie die Quellenentropie $H$ für $q = 1/4$.

$H \ =$ $\ \rm bit/Symbol$

3 Welche Entropienäherungen erhält man für $q = 1/4$?

$H_1 \ =$ $\ \rm bit/Symbol$

$H_2 \ =$ $\ \rm bit/Symbol$

$H_3 \ =$ $\ \rm bit/Symbol$

4 Bestimmen Sie $q$ derart, dass H maximal wird. Interpretation.

$H \rightarrow Maximum\text{:}\ \ q \ =$

5 Welche Symbolfolgen sind mit $q = 0$ möglich?

	$\rm AAAAAA$ ...
	$\rm BBBBBB$ ...
	$\rm ABABAB$ ...

6 Welche Symbolfolgen sind mit $q = 0$ möglich?

	$\rm AAAAAA$ ...
	$\rm BBBBBB$ ...
	$\rm ABABAB$ ...

Musterlösung

Solution

1.  Bei einer stationären binären Markovquelle erster Ordnung gilt:

$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B}

= (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$

$$q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5}

\hspace{0.05cm}.$$

2.  Zur Berechnung von H benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:

$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\\

p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$

Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie–Gleichung ein, so erhält man

$$H \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot

{\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} = \\

\hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}   q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$

Der gesuchte Zahlenwert ist H = H_bin (0.25) = 0.811 bit/Symbol.

3.  Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist H₁ = 1 bit/Symbol. Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:

$$H_2 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot [ H_1 + H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}

\hspace{0.05cm},\\
H_3 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  \frac{1}{3} \cdot [ H_1 + 2   H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}} 
\hspace{0.05cm}.$$

4.  Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für q = 0.5. Damit beträgt die maximale Entropie H = 1 bit/Symbol. Man erkennt aus der Beziehung H = H₁ und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass q = 0.5 statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat:

$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5

\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5
\hspace{0.05cm}.$$

5.  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2. Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu AAAAAA... oder zu BBBBBB..., je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde. Die Entropie einer solchen Quelle ist H = H_bin(0) = 0.

6.  Nun kann weder A direkt auf A noch B direkt auf B folgen. Es ergibt sich eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge ABABAB... oder BABABA... ⇒   Lösungsvorschlag 3. Diese Quelle hat in beiden Fällen ebenfalls die Entropie H = 0 = H_bin(1).