Difference between revisions of "Prinzip der Additionsmethode (Lernvideo)"

Revision as of 17:17, 22 May 2017

Inhalt

Zur Erzeugung einer gaußverteilten Zufallsgröße kann man die Tatsache nutzen, dass sich eine solche Gaußverteilung zum Beispiel dann ergibt, wenn man eine Gleichverteilung (Rechteck-WDF) unendlich oft mit sich selbst faltet. Das Lernvideo (Dauer 3:42) verdeutlicht das Prinzip:

Die Summe $s = x_1 + x_2$ besitzt eine dreieckförmige WDF $f_s(s)$ zwischen $\pm 1$ , wenn die zwei unabhängigen Komponenten $x_1$ und $x_2$ jeweils zwischen $\pm 0.5$ gleichverteilt sind. Dies ist die erste einfache Approximation der Gaußverteilung basierend auf der Faltung für den Prarneter $I = 2$ .
Addiert man nun nicht nur zwei, sondern $I$ solche statistisch unabhängige Komponenten, so wird die Approximation immer besser, je größer $I$ ist. Man erkauft sich die bessere Approximationsqualität mit steigendem $I$ allerdings auch mit einem größeren Rechenaufwand.
Erforderlich ist dabei stets eine Varianzanpassung, das heißt je größer $I$ ist, desto schmäler muss die rechteckförmige WDF $f_x(x)$ der als identisch angenommenen Eingangsgrößen $x_i$ mit $i = 1$ , ... , $I$ sein, wenn $\sigma_s$ vorgegeben ist.
Mit der hier beschriebenen Additionsmethode lässt sich der innere Bereich der Gaußschen Glockenkurve sehr gut nachbilden. Dagegen werden die Ausläufer der Gaußkurve unzureichend nachgebildet, außer, man wählt $I$ extrem groß.

Dieses Lernvideo wurde 2003 am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
Buch und Regie: Günter Söder, Sprecher: Klaus Eichin, Realisierung: Winfried Kretzinger.

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch Tasnád Kernetzky und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

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 === Inhalt ===
 Zur Erzeugung einer gaußverteilten Zufallsgröße kann man die Tatsache nutzen, dass sich eine solche Gaußverteilung zum Beispiel dann ergibt, wenn man eine Gleichverteilung (Rechteck-WDF) unendlich oft mit sich selbst faltet. Das Lernvideo (Dauer 3:42) verdeutlicht das Prinzip:
-*Die Summe  $s = x_1 + x_2$  besitzt eine dreieckförmige WDF  $f_s(s)$  zwischen $\pm 2 $, wenn die zwei unabhängigen Komponenten$ x_1 $und$ x_2 $jeweils zwischen$ \pm 1 $gleichverteilt sind. Dies ist die erste einfache Approximation der Gaußverteilung basierend auf der Faltung für den Prarneter$ I = 2$.
+*Die Summe  $s = x_1 + x_2$  besitzt eine dreieckförmige WDF  $f_s(s)$  zwischen $\pm 1 $, wenn die zwei unabhängigen Komponenten$ x_1 $und$ x_2 $jeweils zwischen$ \pm 0.5 $gleichverteilt sind. Dies ist die erste einfache Approximation der Gaußverteilung basierend auf der Faltung für den Prarneter$ I = 2$.
-*Addiert man nun nicht nur zwei, sondern  $I$  solche statistisch unabhängigen Komponenten, so wird die Approximation immer besser, je größer  $I$  ist. Man erkauft sich die bessere Approximationsqualität mit steigendem  $I$  allerdings auch mit einem größeren Rechenaufwand.
+*Addiert man nun nicht nur zwei, sondern  $I$  solche statistisch unabhängige Komponenten, so wird die Approximation immer besser, je größer  $I$  ist. Man erkauft sich die bessere Approximationsqualität mit steigendem  $I$  allerdings auch mit einem größeren Rechenaufwand.
 *Erforderlich ist dabei stets eine Varianzanpassung, das heißt je größer  $I$  ist, desto schmäler muss die  rechteckförmige WDF  $f_x(x)$  der als identisch angenommenen Eingangsgrößen  $x_i$  mit  $i = 1$ , ... , $I$  sein, wenn  $\sigma_s$  vorgegeben ist.
 *Mit der hier beschriebenen Additionsmethode lässt sich der innere Bereich der Gaußschen Glockenkurve sehr gut nachbilden. Dagegen werden die Ausläufer der Gaußkurve unzureichend nachgebildet, außer, man wählt  $I$  extrem groß.