Aufgaben:Exercise 2.6: Free Space Attenuation

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Ein gemäß dem Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” betriebener Kurzwellensender arbeitet mit der Trägerfrequenz $f_T = 20 MHz$ und der Sendeleistung $P_S = 100 kW$. Er ist für eine Bandbreite von $B_{NF} = 8 kHz$ ausgelegt.

Zum Testbetrieb wird ein mobiler Empfänger eingesetzt, der mit einem Synchrondemodulator arbeitet. Befindet sich dieser in der Distanz d zum Sender, so kann die Dämpfungsfunktion des Übertragungskanals wie folgt angenähert werden: $$\frac{a_K(d,f)}{dB} = 34 + 20 \cdot lg \frac{d}{km} + 20 \cdot \frac{f}{MHz}.$$ Die Gleichung beschreibt die so genannte Freiraumdämpfung, die auch von der (Träger-)Frequenz abhängt.

Es kann davon ausgegangen werden, dass das gesamte ZSB–AM–Spektrum wie die Trägerfrequenz gedämpft wird. Das bedeutet, dass die etwas größere Dämpfung des OSB bzw. die geringfügig kleinere Dämpfung des USB durch eine entsprechende Vorverzerrung beim Sender ausgeglichen wird.

Die am Empfänger wirksame Rauschleistungsdichte sei $N_0 = 10^{–14} W/Hz.$

Für die Teilaufgaben a) und b) wird vorausgesetzt, dass der Sender nur den Träger überträgt, das heißt, dass der Modulationsgrad m = 0 ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einfluss linearer Kanalverzerrungen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die letzten Theorieseiten von Kapitel 2.2.

Fragebogen

1

Welche Leistung wird im Abstand d = 10 km vom Sender empfangen, wenn nur der Träger abgestrahlt wird (m = 0)?

$P_E$ = $10^{-3} W$

2

Welches Sinken–SNR ergibt sich bei der unter b) berechneten Distanz, wenn der Modulationsgrad m = 0.5 beträgt?

$10 · lg ρ_υ$ = $\text{dB}$

3

Wie groß muss der Modulationsgrad mindestens gewählt werden, damit sich ein Sinken–Störabstand von 60 dB ergibt?

$m_{min}$ =

4

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	ZSB–AM mit Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	ZSB–AM ohne Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	Ein kleiner Trägeranteil kann für die erforderliche Frequenz– und Phasensynchronisation hilfreich sein.

Musterlösung

Solution

1. Entsprechend der Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt mit d = 10 km und $f_T = 20 MHz$: $$\frac{a_{\rm K}(d, f_{\rm T})}[[:Template:\rm dB]] = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}[[:Template:\rm km]] + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{f_{\rm T}}[[:Template:\rm MHz]]=$$ $$ = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(10) + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(20)\approx 80\hspace{0.1cm}{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$ Dies entspricht einer Leistungsverminderung um den Faktor $10^{8}$: $$P_{\rm E}= 10^{-8} \cdot P_{\rm S}= 10^{-8} \cdot 100\,{\rm kW}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-3}\, {\rm W} \hspace{0.05cm}}.$$

2. Aus $P_S = 10^5 W$, $P_E = 10^–4 W$ folgt eine Freiraumdämpfung von 90 dB. Daraus erhält man weiter: $$20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}[[:Template:\rm km]] = ( 90-34 - 26)\hspace{0.1cm}{\rm dB}= 30\,{\rm dB}\hspace{5cm}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 10^{1.5}\,{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline { = 31.6\,{\rm km}\hspace{0.05cm}}.$$

3. Bei ZSB–AM ohne Träger, das heißt für den Modulationsgrad m → ∞, würde gelten: $$ \rho_{v } = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}} = \frac{ P_{\rm E}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-4}\,{\rm W}}{10^{-14}\,{\rm W/Hz}\cdot 8 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} } = 1.25 \cdot 10^6$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \approx 61\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$ Mit dem Modulationsgrad m = 0.5 wird das Sinken–SNR um den Faktor $$\frac{1}{1 +{2}/{m^2}} = {1}/{9}$$ kleiner. Der Sinken–Störabstand ist somit ebenfalls geringer: $$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } = 61\,{\rm dB}- 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(9) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 51.5\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}}.$$

4. Entsprechend den Berechnungen zur Teilaufgabe c) muss nun folgende Bedingung erfüllt sein: $$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\left({1 + {2}/{m^2}}\right) < 1\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 +{2}/{m^2} < 10^{0.1}=1.259$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{2}/{m^2} < 0.259 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m > \sqrt{8}\approx 2.83 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.83} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Bei Verwendung eines Synchrondemodulators macht die Zusetzung des Trägers keinen Sinn, außer dass dieser für die erforderliche Trägerrückgewinnung nützlich sein könnte. Da der Träger zur Demodulation nicht genutzt werden kann, steht nur ein Bruchteil der Sendeleistung für die Demodulation zur Verfügung (m = 1: ein Drittel, m = 0.5: ein Neuntel). Richtig sind also die Vorschläge 1 und 3.