Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.3: Sum of two Oscillations"
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| − | Das äquivalente | + | Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet |
| − | $$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ | + | :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ |
| − | wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($ | + | wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_{\rm T = 1}$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = \rm 1/V$ angenommen. |
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal | Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal | ||
| − | $$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | + | :$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$ |
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt: | anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt: | ||
| − | $${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8, | + | :$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} |
| − | + | {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$ | |
| − | $${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1, | + | :$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} |
| − | + | {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$ | |
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte. | Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte. | ||
Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal | Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal | ||
| − | $$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | + | :$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ |
| − | Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man aus | + | Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe: |
| − | $${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Aus der | + | Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind. |
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal | Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal | ||
| − | $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ | + | :$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ |
| − | am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden. | + | am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden. |
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| + | Im Fragebogen bezeichnen | ||
| + | *$S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten TP–Signals, | ||
| + | *$S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals, | ||
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| + | jeweils unter der Annahme, dass $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt. | ||
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| + | ''Hinweise:'' | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]]. | ||
| + | *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. | ||
| + | *Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul [[Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung]] nutzen. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche geometrische Figur beschreibt die Ortskurve $s_{TP}(t)$? | + | {Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$? |
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- Die Ortskurve ist eine Ellipse. | - Die Ortskurve ist eine Ellipse. | ||
- Die Ortskurve ist ein Kreis. | - Die Ortskurve ist ein Kreis. | ||
+ Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis. | + Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis. | ||
| − | - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel | + | - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel $90^\circ$. |
| − | {Berechnen Sie die Spektralfunktion $S_{TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen $f_{min}$ und $f_{max}$ liegen Spektrallinien? | + | {Berechnen Sie die Spektralfunktion $S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen $f_{\rm min}$ und $f_{\rm max}$ liegen Spektrallinien? |
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| − | $f_{min}$ | + | $f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$ |
| − | $f_{max}$ | + | $f_{\rm max} \ = \ ${ +5 3% } $\ \rm kHz$ |
{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 0$. | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 0$. | ||
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| − | $Re[S_{TP}(f = 0)]$ | + | ${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0.72 3% } |
| − | $Im[S_{TP}(f = 0)]$ | + | ${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0. } |
| − | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 1 kHz$. | + | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 1\ \rm kHz$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $Re[S_{TP}(f = | + | ${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.36 3% } |
| − | $Im[S_{TP}(f = | + | ${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.03 3% } |
| − | {Berechnen Sie das Gewicht der $S_+(f)$–Diracfunktion bei $f = 98 kHz$. | + | {Berechnen Sie das Gewicht der $S_+(f)$–Diracfunktion bei $f = 98 \ \rm kHz$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $Re[ | + | ${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 98 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.09 3% } |
| − | $Im[S_ | + | ${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 98 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.12 3% } |
</quiz> | </quiz> | ||
Revision as of 14:25, 5 July 2017
Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet
- $$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_{\rm T = 1}$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = \rm 1/V$ angenommen.
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
- $$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:
- $${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
- $${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal
- $$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe:
- $${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal
- $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
Im Fragebogen bezeichnen
- $S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten TP–Signals,
- $S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
jeweils unter der Annahme, dass $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
- Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
- Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung nutzen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
2. Es gilt $S_{TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5$ kHz beschränkt: $f_{min} = –5 kHz$, $f_{max} = 5 kHz$.
3.Das Faltungsprodukt für $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation. Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden. Damit erhält man: $$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
4. Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um 1 kHz erfolgen. Somit erhält man:
$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) +$$
$$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)=$$
$$ = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$
5. Die Diraclinie $S_+(f = 98 kHz)$ entspricht der $S_{TP}(f)$–Linie bei $f = –2 kHz$. Diese ist
$$S_{\rm TP}(f = -2\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) +$$
$$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = -3\,{\rm kHz})=$$
$$= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}= 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$
