Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.5: PM and FM for Rectangular Signals"

Revision as of 13:01, 7 July 2017

Signalverläufe bei PM und FM

Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, welches im oberen Diagramm dargestellt ist.

Dieses kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.

Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation (WM), die jeweils in der Form

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi (t) )$$

darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation (PM) mit der Winkelfunktion

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$

und der Frequenzmodulation (FM), bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:

$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying (PSK) und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying ' (FSK) bezeichnet.

Fragebogen

	$s_1(t)$ beschreibt eine Phasenmodulation.
	$s_1(t)$ beschreibt eine Frequenzmodulation.

$ϕ_T$ =

$Grad$

$f_T · T$ =

$K_{PM}$ =

$V^{-1}$

$Δf_A · T$ =

$K_{FM}$ =

$(Vs)^{-1}$

Musterlösung

Solution

1. Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$. Die Frequenzmodulation (FM) weist dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$ auf ⇒ $\underline{Antwort 2}$.

2. Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$

3. Die Trägerfrequenz $f_T$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden. Bei der FM eines bipolaren Quellensignals tritt $f_T$ nicht auf. Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall T erkennt man, dass $f_T · T = 6$ verwendet wurde.

4. Der Amplitudenwert $A = 2 V$ führt zur Phase $90°$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt: $$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$

5. Die Grafik $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls T entweder 4 oder 8 Schwingungen auftreten: $$4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$$ Unter Berücksichtigung der Trägerfrequenz $f_T · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub: $$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$

6.Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden: $$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$ Mit $Δf_A · T = 2$ erhält man somit $$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$

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-[[File:P_ID1099__Mod_A_3_5.png|right|]]
+[[File:P_ID1099__Mod_A_3_5.png|right|frame|Signalverläufe bei PM und FM ]]
 Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, welches im oberen Diagramm dargestellt ist.
-Dieses kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 ms$.
+Dieses kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.
 Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation (WM), die jeweils in der Form
-$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi (t) )$$
+:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi (t) )$$
 darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation (PM) mit der Winkelfunktion
-$$\psi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)$$
+:$$\psi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
-$$ =  \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
 und der Frequenzmodulation (FM), bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:
-$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
-$K_{PM}$ und $K_{FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_A$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
+$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1] und [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM) Kapitel 3.2]. Im Vorgriff auf das Kapitel 4 sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als PSK (''Phase Shift Keying'') und entsprechend die Frequenzmodulation als FSK (''Frequency Shift Keying'') bezeichnet.
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+*Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als ''Phase Shift Keying'' (PSK) und entsprechend die Frequenzmodulation als ''Frequency Shift Keying'' ' (FSK) bezeichnet.
 ===Fragebogen===