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Revision as of 10:11, 14 September 2017

Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion

Theoretischer Hintergrund

Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$ und deren Inversen (IFT) $x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$ gegeben.
In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$ und $x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$

$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz.

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 *Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation &bdquo;Tiefpass&ldquo; basiert auf dem Vertauschungssatz.
-==Gaußimpuls==
-*Die Zeitfunktion mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
- $x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$
-*Die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
-*Der Wert bei t= $\Delta t/2$  ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei  $t=0$ .
-*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
- $X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$
-*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
-*Sowohl  $x(t)$  als auch  $X(f)$  sind zu keinem  $f$ - bzw.  $t$ -Wert exakt gleich Null.
-*Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist  $x(t)$  bereits bei  $t=1.5 \Delta \cdot t$  auf  $1\%$  des Maximums abgefallen.
-==Rechteckimpuls==
-*Die Zeitfunktion mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
- $x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$
-*Der  $\pm \Delta t/2$  - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
-*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
- $X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$
-*Der Spektralwert bei  $f=0$  ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
-*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta t$ .
-*Das Integral über der Spektralfunktion  $X(f)$  ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt  $t=0$ , also der Impulsamplitude  $K$ .
-==Dreieckimpuls==
-*Die Zeitfunktion mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
- $x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$
-*Die absolute Zeitdauer ist  $2 \cdot \Delta t$ , d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
-*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
- $X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$
-*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite  $\Delta t \Rightarrow X(f)$  beinhaltet anstelle der  $si$ -Funktion die  $si^2$ -Funktion.
-* $X(f)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
-*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  erfolgt hier mit  $1/f^2$ , während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit  $1/f$  abfällt.
-==Trapezimpuls==
-Die Zeitfunktion mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:
- $x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$
-*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:  $\Delta t = t_1+t_2$ .
-*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
- $r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$
-*Sonderfall  $r=0$ : Rechteckimpuls. Sonderfall  $r=1$ : Dreieckimpuls.
-*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
- $X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$
-*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  liegt zwischen  $1/f$  (für Rechteck,  $r=0$ ) und  $1/f^2$  (für Dreieck,  $r=1$ ).
-==Cosinus-Rolloff-Impuls==
-Die Zeitfunktion mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:
- $x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$
-*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:  $\Delta t = t_1+t_2$ .
-*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
- $r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$
-*Sonderfall  $r=0$ : Rechteckimpuls. Sonderfall  $r=1$ : Cosinus $^2$ -Impuls.
-*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
- $X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$
-*Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $X(f)$  asymptotisch mit  $f$  ab.
-==Cosinus-Quadrat-Impuls==
-*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für  $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$ :
- $x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$
-*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
- $X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$
-*Wegen der letzten  $si$ -Funktion ist  $X(f)=0$  für alle Vielfachen von  $F=1/\Delta t$ . Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
-*Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $X(f)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $f=\pm1.5 F$ ,  $\pm2.5 F$ ,  $\pm3.5 F$ , ... auf.
-*Für die Frequenz  $f=\pm F/2$  erhält man die Spektralwerte  $K\cdot \Delta t/2$ .
-*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/f^3$ .
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