Aufgaben:Exercise 1.4: Nyquist Criteria

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Rechteckförmiges Nyquistspektrum

Durch die Skizze gegeben ist das Spektrum $G(f)$ des Detektionsgrundimpulses, wobei der Parameter $A$ noch zu bestimmen ist. Überprüft werden soll unter Anderem, ob dieser Detektionsgrundimpuls eines der beiden Nyquistkriterien erfüllt. Diese lauten:

• Das erste Nyquistkriterium ist erfüllt, wenn für die Spektralfunktion gilt:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) = {\rm const.}$$

In diesem Fall besitzt der Impuls $g(f)$ für alle ganzzahligen Werte von $ν$ mit Ausnahme von $ν = 0$ Nulldurchgänge bei $t = νT$. Für die gesamte Aufgabe wird $T = 0.1 \ \rm ms$ vorausgesetzt.

• Ist das zweite Nyquistkriterium erfüllt, so hat $g(f)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5 T$, $\pm 2.5 T$, usw.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Eigenschaften von Nyquistsystemen dieses Buches. Als bekannt vorausgesetzt werden:

$$X(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > f_0 \hspace{0.08cm} \\ \end{array} \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} x(t) =2 \cdot A \cdot f_0 \cdot {\rm si}(2 \pi f_0 T) \hspace{0.05cm},$$

$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Erfüllt der Impuls $g(t)$ das erste Nyquistkriterium?

	Das erste Nyquistkriterium wird erfüllt
	Das erste Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

2

Bestimmen Sie den Parameter $A$ derart, dass $g(t = 0) = 2\ \rm V$ gilt.

$A \ = \ $ $\cdot 10^{-4} \ \rm V/Hz$

3

Berechnen Sie $g(t)$ durch Anwendung der Fourierrücktransformation. Welcher (normierte) Funktionswert ergibt sich bei $t = T$?

$ g(t = T)/g(t = 0) \ = \ $

4

Welcher (normierte) Wert ergibt sich für $t = 2.5T$?

$g(t = 2.5 T)/g(t = 0)\ = \ $

5

Erfüllt der Impuls $g(t)$ das zweite Nyquistkriterium?

	Das zweite Nyquistkriterium wird erfüllt.
	Das zweite Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)