Aufgaben:Exercise 4.14Z: 4-QAM and 4-PSK

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Signalraumkonstellation von 4–QAM und 4-PSK

Für die Quadraturamplitudenmodulation (M&ndashQAM) wurde im Theorieteil für $M ≥ 16$) eine obere Schranke („Union–Bound”) der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben:

$$ p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Im Theorieteil findet man ebenfalls die „Union–Bound” für die M–stufige Phasenmodulation (M–PSK)

$$ p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie, nämlich $E_{\rm S}$.

Aus der Grafik erkennt man, dass für den Sonderfall $M = 4$ die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten, was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.

Die 4–PSK ist hier mit dem Phasenoffset $\phi_{\rm off} = 0$ dargestellt. Mit einem allgemeinen Phasenoffset lauten dagegen die Inphase– und Quadraturanteile der Signalraumpunkte allgemein ($i = 0, \ ... \ , M = 1$):

$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$

$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Theorieseite 6 und die Theorieseite 7 von Kapitel 4.4.
• In der obigen Grafik rot eingezeichnet ist die Gray–Zuordnung der Symbole zu Bitdupeln.

Fragebogen

1 Für welchen Phasenoffset stimmen die 4–QAM und die 4–PSK exakt überein?

$\phi_{\rm off}$ = $\ \rm Grad$

2 Wie lautet die obere Schranke (Union–Bound, $p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S}$) für die 4–PSK?

	$p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$.

3 Geben Sie eine nähere obere Schranke für die 4–QAM an.

	$p_{\rm UB} ≤ 4 \cdot {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$.

4 Wie lauten die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranken für 4–QAM und 4–PSK, Graycodierung vorausgesetzt?

	$p_{\rm UB} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} ≤ {\rm Q}[(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm UB} ≤ {\rm Q}[(E_{\rm S}/N_0)^{\rm 1/2}]$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)