Aufgaben:Exercise 4.17: Non-Coherent On-Off Keying

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Rayleigh– und Riceverteilung

Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von On–Off–Keying ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK–Signalraumpunkte bei $\boldsymbol{s}_0 = C$ (Nachricht $m_0$) und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$ (Nachricht $m_1$) liegen.

Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit dieses Systems wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = $$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y|m} (\eta | m_0) \,{\rm d} \eta

+$$

$$ \hspace{-0.1cm} \ + \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y|m} (\eta | m_1) \,{\rm d} \eta

\hspace{0.05cm}.$$

Mit der Streuung $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für $m = m_1$ ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):

$$p_{y|m} (\eta | m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2}

\hspace{0.05cm}.$$

Die Riceverteilung (rote Kurve) kann im vorliegenden Fall (wegen $C >> \sigma_n$) durch eine Gaußverteilung angenähert werden:

$$p_{y|m} (\eta | m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2}

\hspace{0.05cm}.$$

Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.
• Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende Näherungen verwenden:

$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}

{\rm Q }(2.65) \approx 0.0040 
\hspace{0.05cm}.$$

• Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Berechnungstool kontrollieren: Nichtkohärentes On–Off–Keying

Fragebogen

1 Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren Symbolenergie $E_{\rm S}$ und der Konstanten $C$ der Riceverteilung? Es gilt:

	$E_{\rm S} = C$,
	$E_{\rm S} = C^2$,
	$E_{\rm S} = C^/2$.

2 Geben Sie eine Bestimmungsgleichung für die optimale Entscheidergrenze $G$ an. Es gilt:

	$G = C/2$,
	$G \, –1/C \cdot {\rm ln} \, (G) = C/2 + 1/(2C) \cdot {\rm ln} \, (2\pi)$,
	$G \, –1/C \cdot {\rm ln} \, (G)$.

3 Bestimmen Sie die optimale Entscheidergrenze für $C = 4$.

$C = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} G_{\rm opt} \ = \ $

4 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $C = 4$ und $G = 2.5$?

$C = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ $\ \% $

5 Bestimmen Sie die optimale Entscheiderschwelle für $C = 6$.

$C = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} G_{\rm opt} \ = \ $

6 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $C = 6$ und $G = 3.5$?

$C = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ $\ \rm $% $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)