Aufgaben:Exercise 5.3Z: Analysis of the BSC Model

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Gegebene Fehlerfolge

Wir betrachten zwei verschiedene BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:

• Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
• Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.

Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.

Die beiden Modelle sollen anhand

• der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten

$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$

• der Fehlerabstandsverteilung

$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$

• der Fehlerkorrelationsfunktion

$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm

E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] =$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}

\left\{ \begin{array}{c} p \\
p^2 \end{array} \right.\quad

\begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

analysiert werden.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Binary Symmetric Channel (BSC).

Fragebogen

1 Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden?

	FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$,
	FKF–Wert $\varphi_e(k = 10)$,
	FAV–Wert $V_a(k = 1)$,
	FAV–Wert $V_a(k = 2)$,
	FAV–Wert $V_a(k = 10)$.

2 Von welchem Model stammt die angegebene Fehlerfolge?

	Modell $M_1$,
	Modell $M_2$.

3 Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$?

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} E[a] \ = \ $

4 Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = E[a]) \ = \ $

5 Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung:

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 2) \ = \ $

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 10) \ = \ $

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 11) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)