Channel Coding/Algebraic and Polynomial Description

1. Channel Coding
2. Faltungscodierung und geeignete Decoder
3. Algebraic and Polynomial Description

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== Definition und Interpretation der Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, ... , \mathbf{G}_m == <br> Entsprechend den Ausführungen in [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes| Kapitel 1.4]] lässt sich das Codewort $\underline{x}$ eines linearen Blockcodes aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ in einfacher Weise ermitteln: \[\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.\] Dabei gilt: *Die Vektoren $\underline{u}$ und $\underline{x}$ haben die Länge $k$ (Bitanzahl eines Informationswortes) bzw. $n$ (Bitanzahl eines Codewortes) und $\mathbf{G}$ besitzt die Dimension $k × n$ ($k$ Zeilen und $n$ Spalten).<br> *Bei Faltungscodierung bezeichnen dagegen $\underline{u}$ und $\underline{x}$ Sequenzen mit $k' → ∞$ und $n' → ∞$. Deshalb wird auch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in beiden Richtungen unendlich weit ausgedehnt sein.<br><br> Als Vorbereitung für die Einführung der Generatormatrix $\mathbf{G}$ auf der nächsten Seite definieren wir $m + 1$ Teilmatrizen, jeweils mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten, die wir mit $\mathbf{G}_l$ bezeichnen, wobei $0 ≤ l ≤ m$ gilt.<br> <div class="definition">''':''' Ist das Matrizenelement $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, so sagt dies aus, dass das Codebit $x_i^{(j)}$ durch das Informationsbit $u_{i–l}^{(\kappa)}$ beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich $0$.<div style="clear:both;"> </div> </div><br> Diese Definition wird nun an einem Beispiel verdeutlicht. <div class="example">''':''' [[File:P ID2600 KC T 3 1 S4 v1.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 2, \ n = 3$ und $m = 1$]] Wir betrachten wiederum den Faltungscodierer gemäß nebenstehender Grafik mit den folgenden Codebits: \[x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},\] \[x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm},\] \[x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)}+ u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm}.\] Wegen der Gedächtnisordnung $m = 1$ wird dieser Codierer durch die beiden Teilmatrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ charakterisiert: \[{ \boldsymbol{\rm G}}_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Diese Matrizen sind wie folgt zu interpretieren: *Erste Zeile von $\mathbf{G}_0$, rote Pfeile:       $u_i^{(1)}$ beeinflusst sowohl $x_i^{(1)}$ als auch $x_i^{(3)}$, nicht jedoch $x_i^{(2)}$.<br> *Zweite Zeile von $\mathbf{G}_0$, blaue Pfeile:   $u_i^{(2)}$ beeinflusst $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$, aber nicht $x_i^{(1)}$.<br> *Erste Zeile von $\mathbf{G}_1$, grüne Pfeile:     $u_{i–1}^{(1)}$ beeinflusst alle drei Coderausgänge.<br> *Zweite Zeile von $\mathbf{G}_1$, brauner Pfeil: $u_{i–1}^{(2)}$ beeinflusst nur $x_i^{(1)}$.<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-1--QINU`"' Generatormatrix eines Faltungscodierers mit Gedächtnis m == <br> Mit den Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... \ , \mathbf{G}_m$ lassen sich die $n$ Codebits zum Zeitpunkt $i$ wie folgt ausdrücken: \[\underline{x}_i = \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.15cm}\underline{u}_{i-l} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_l = \underline{u}_{i} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_0 + \underline{u}_{i-1} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_1 + ... + \underline{u}_{i-m} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_m \hspace{0.05cm}.\] Hierbei sind folgende vektorielle Größen zu berücksichtigen: \[\underline{\it u}_i = \left ( u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, u_i^{(k)}\right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, x_i^{(n)}\right )\hspace{0.05cm}.\] Betrachtet man die bei $i = 1$ beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen \[\underline{\it u} = \big( \underline{\it u}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it u}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{\it x} = \big( \underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},\] so kann dieser Zusammenhang durch die Matrixgleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ ausgedrückt werden. Hierbei ist für die Generatormatrix $\mathbf{G}$ zu setzen: \[{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \cdots & \cdots & & & \cdots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Aus der Gleichung erkennt man sofort das Gedächtnis $m$ des Faltungscodes. Die Parameter $k$ und $n$ sind direkt nicht ablesbar. Sie sind aber durch die Zeilen– und Spaltenzahl der Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ festgelegt.<br> <div class="example">''':''' [[File:P ID2601 KC T 3 2 S2 v1.png|right|frame|Generatormatrix eines Faltungscodes]] Mit den zwei Matrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ – siehe [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen| letztes Beispiel]] – erhält man die rechts skizzierte Matrix $\mathbf{G}$.<br><br><br><br><br><br><br> Anzumerken ist: *Die Generatormatrix $\mathbf{G}$ erstreckt sich nach unten und nach rechts eigentlich bis ins Unendliche. Explizit dargestellt sind aber nur 8 Zeilen und 12 Spalten. *Für die zeitlich begrenzte Informationssequenz $\underline{u} = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1)$ ist der gezeichnete Matrixteil ausreichend. Die Codesequenz lautet dann:   $\underline{x} = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)$. *Anhand der Beschriftungsfarben lassen sich die $n = 3$ Codewortstränge ablesen. Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen| Beispiel]] am Ende von Kapitel 3.1 erhalten. :\[\underline{\it x}^{(1)} = (0\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{\it x}^{(2)} = (1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm},1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{\it x}^{(3)} = (1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 0) \hspace{0.05cm}.\]<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-2--QINU`"' Generatormatrix für Faltungscodierer der Rate 1/n == <br> Wir betrachten nun den Sonderfall $k = 1$, zum einen aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung, aber auch, weil Faltungscodierer der Rate $1/n$ für die Praxis eine große Bedeutung besitzen.<br><br> [[File:P ID2602 KC T 3 2 S3a.png|right|frame|Faltungscoder $(k = 1, \ n = 2, \ m = 1)$]] <b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 2$ und $m = 1$</b><br> Aus der nebenstehenden Skizze kann abgeleitet werden: \[{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} 11 & 01 & 00 & 00 & 00 & \cdots & \\ 00 & 11 & 01 & 00 & 00 & \cdots & \\ 00 & 00 & 11 & 01 & 00 & \cdots & \\ 00 & 00 & 00 & 11 & 01 & \cdots & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Für die Eingangssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ beginnt die Codesequenz mit $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, \ ...)$. Dieses Ergebnis ist gleich der Summe der Zeilen 1, 3 und 4 der Generatormatrix.<br><br> [[File:P ID2603 KC T 3 2 S3b.png|right|frame|Faltungscoder $(k = 1, \ n = 2, \ m = 2)$]] <b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 2$ und $m = 2$</b><br> Aufgrund der Gedächtnisordnung $m = 2$ gibt es hier drei Teilmatrizen: \[{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} 11 & 10 & 11 & 00 & 00 & 00 & \cdots & \\ 00 & 11 & 10 & 11 & 00 & 00 & \cdots & \\ 00 & 00 & 11 & 10 & 11 & 00 & \cdots & \\ 00 & 00 & 00 & 11 & 10 & 11 & \cdots & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Hier führt die Eingangsssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ zur Codesequenz $\underline{x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, \ ...)$.<br><br> [[File:P ID2604 KC T 3 2 S3c.png|right|frame|Faltungscoder $(k = 1, \ n = 3, \ m = 3)$]] <b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 3$ und $m = 3$</b> Wegen $m = 3$ gibt es vier Teilmatrizen der Dimension $1 × 3$: \[{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\] \[{ \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_3=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Damit lautet die resultierende Generatormatrix: \[{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} 110 & 001 & 001 & 011 & 000 & 000 & 000 & \cdots & \\ 000 & 110 & 001 & 001 & 011 & 000 & 000 & \cdots & \\ 000 & 000 & 110 & 001 & 001 & 011 & 000 & \cdots & \\ 000 & 000 & 000 & 110 & 001 & 001 & 011 & \cdots & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\] und man erhält für $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ die Codesequenz $\underline{x} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, \ ...)$.<br> =='"`UNIQ--h-3--QINU`"' GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (1) == <br> In [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Rate.E2.80.931.2F2.E2.80.93Faltungscodierer_.282.29| Kapitel 3.1]] wurde bereits darauf hingewiesen, dass ein Faltungscodierer der Rate $1/n$ durch mehrere Digitale Filter realisiert werden kann, wobei die Filter parallel mit der gleichen Eingangsfolge $\underline{u}$ arbeiten. Bevor wir diese Aussage vertiefen, sollen zuerst die Eigenschaften eines Digitalfilters für das Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ genannt werden.<br> [[File:P ID2605 KC T 3 2 S4 v1.png|center|frame|Digitales Filter in ${\rm GF}(2)$ der Ordnung $m$|class=fit]]<br> Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren: *Das Filter besitzt die Impulsantwort $\underline{g} = (g_0, g_1, g_2, \ ... \ , g_m)$, wobei für alle Filterkoeffizienten (mit den Indizes $0 ≤ l ≤ m$) gilt:   $g_l ∈ {\rm GF}(2) = \{0, 1\}$.<br> *Die einzelnen Symbole $u_i$ der Eingangsfolge $\underline{u}$ seien ebenfalls binär: $u_i ∈ \{0, 1\}$. Damit gilt für das Ausgangssymbol zu den Zeitpunkten $i ≥ 1$ mit Addition und Multiplikation in ${\rm GF(2)}$: :\[x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.\] *Dies entspricht der (zeitdiskreten) [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich Faltungsoperation] (englisch: <i>Convolution</i>), gekennzeichnet durch einen Stern. Damit kann für die gesamte Ausgangssequenz geschrieben werden: :\[\underline{x} = \underline{u} * \underline{g}\hspace{0.05cm}.\] *Wesentlicher Unterschied gegenüber dem [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter| Kapitel 5.2]] des Buches „Stochastische Signaltheorie” ist die Modulo–2–Addition $(1 + 1 = 0)$ anstelle der herkömmlichen Addition $(1 + 1 = 2)$.<br><br> <div class="example">''':''' [[File:P ID2606 KC T 3 2 S4b.png|right|frame|Digitales Filter mit Impulsantwort $(1, 0, 1, 1)$]] Die Impulsantwort des dargestellten Digitalen Filters der Ordnung 3 lautet $\underline{g} = (1, 0, 1, 1)$. Die Eingangssequenz dieses Filters sei zeitlich unbegrenzt:   $\underline{u} = (1, 1, 0, 0, 0, \ ...)$.<br> Damit ergibt sich die (unendliche) Ausgangssequenz $\underline{x}$ im binären Galoisfeld ⇒ ${\rm GF(2)}$: \[\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}. ... \hspace{0.05cm}) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})= \] \[\hspace{0.3cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} . ... \hspace{0.05cm}) \oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} . ... \hspace{0.05cm}) = (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, . ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\] Bei der herkömmlichen Faltung (für reelle Zahlen) hätte dagegen das Ergebnis gelautet: \[\underline{x}= (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 2,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, . ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\]<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-4--QINU`"' GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2) == <br> Zeitdiskrete Signale kann man auch durch Polynome bezüglich einer Dummy–Variablen repräsentieren.<br> <div class="definition">''':''' Die zum zeitdiskreten Signal $\underline{x} = (x_0, x_1, x_2, \ ...)$ gehörige $\boldsymbol{D}$<b>–Transformierte</b> lautet: \[X(D) = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}= \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.\] Für diese spezielle Transformation in einen Bildbereich verwenden wir auch die Notation: \[\underline{x} = (x_0, x_1, x_2,\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad X(D) = \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.\]<div style="clear:both;"> </div> </div><br> In der Literatur wird manchmal $x(D)$ anstelle von $X(D)$ verwendet. Wir schreiben in LNTwww aber alle Bildbereichsfunktionen mit Großbuchstaben, zum Beispiel Fourier–, Laplace– und $D$–Transformation: \[x(t) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x(t) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X(p) \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} \underline{x} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X(D) \hspace{0.05cm}.\] Wir wenden nun die $D$–Transformation auch auf die Informationssequenz $\underline{u}$ und die Impulsantwort $\underline{g}$ an. Aufgrund der zeitlichen Begrenzung von $\underline{g}$ ergibt sich die obere Summationsgrenze bei $G(D)$ zu $i = m$:<br> \[\underline{u} = (u_0, u_1, u_2,\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D^i \hspace{0.05cm},\] \[\underline{g} = (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}, g_m) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G(D) = \sum_{i = 0}^{m} g_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.\]<br> <div class="satz">''':''' Wie bei allen Spektraltransformationen gilt auch bei der $D$–Transformation im Bildbereich die <b>Multiplikation</b>, da die (diskreten) Zeitsignale $\underline{u}$ und $\underline{g}$ durch die <b>Faltung</b> verknüpft sind: \[\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad X(D) = U(D) \cdot G(D) \hspace{0.05cm}.\] Man bezeichnet, wie in der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang| Systemtheorie]] allgemein üblich, auch die $D$–Transformierte $G(D)$ der Impulsantwort $\underline{g}$ als <span style="font-weight: bold;">Übertragungsfunktion</span> (englisch: <i>Transfer Function</i>).<div style="clear:both;"> </div> </div><br> Der (recht einfache) Beweis dieses wichtigen Ergebnisses finden Sie in der Angabe zu Aufgabe Z3.3.<br> <div class="example">''':''' [[File:P ID2607 KC T 3 2 S4b.png|right|frame|Digitales Filter mit Impulsantwort $(1, 0, 1, 1)$]] Wir betrachten wieder die zeitdiskreten Signale \[\underline{u} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D \hspace{0.05cm},\] \[\underline{g} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G(D) = 1+ D^2 + D^3 \hspace{0.05cm}.\] Wie im [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters_.281.29| letzten Beispiel]] erhält man auch auf diesem Lösungsweg: \[X(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} U(D) \cdot G(D) = (1+D) \cdot (1+ D^2 + D^3) =\] \[\hspace{1cm} = \hspace{-0.15cm} 1+ D^2 + D^3 +D + D^3 + D^4 = 1+ D + D^2 + D^4 \] \[\Rightarrow \hspace{0.4cm} \underline{x} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\] Die Multiplikation mit $D$ im Bildbereich entspricht im Zeitbereich einer Verschiebung um eine Stelle nach rechts, weshalb man $D$ als <i>Verzögerungsoperator</i> (englisch: <i>Delay Operator</i>) bezeichnet: \[W(D) = D \cdot X(D) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\quad \underline{w} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\]<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-5--QINU`"' Anwendung der D–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscoder (1) == <br> Wir wenden nun die Ergebnisse der letzten Seite auf einen Faltungscoder an, wobei wir uns zunächst auf den Sonderfall $k = 1$ beschränken. Ein solcher $(n, \ k = 1)$–Faltungscode lässt sich mit $n$ Digitalen Filtern realisieren, die auf der gleichen Informationssequenz $\underline{u}$ parallel arbeiten. Die Grafik zeigt die Anordnung für den Codeparameter $n = 2$  ⇒  Coderate $R = 1/2$.<br> [[File:P ID2608 KC T 3 2 S5 v1.png|center|frame|Zwei parallel arbeitende Filter, jeweils mit Ordnung $m$|class=fit]]<br> Die nachfolgenden Gleichungen gelten für beide Filter gleichermaßen, wobei für das obere Filter $j = 1$ und für das untere Filter $j = 2$ zu setzen ist: *Die <b>Impulsantworten</b> der beiden Filter ergeben sich zu :\[\underline{g}^{(j)} = (g_0^{(j)}, g_1^{(j)}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}, g_m^{(j)}\hspace{0.01cm}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.\] *Die beiden <b>Ausgangssequenzen</b> lauten: :\[\underline{x}^{(j)} = (x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, x_2^{(j)}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) = \underline{u} \cdot \underline{g}^{(j)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.\] :Hierbei ist berücksichtigt, dass das obere Filter und das untere Filter beide auf der gleichen Eingangssequenz $\underline{u} = (u_0, u_1, u_2, \ ...)$ arbeiten. *Für die $D$<b>–Transformierten</b> der Ausgangssequenzen gilt: :\[X^{(j)}(D) = U(D) \cdot G^{(j)}(D) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.\] Auf der nächsten Seite verwenden wir eine kompaktere Schreibweise.<br> =='"`UNIQ--h-6--QINU`"' Anwendung der D–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscoder (2) == <br> Um den soeben dargelegten Sachverhalt kompakter darstellen zu können, definieren wir nun folgende vektorielle Größen eines Faltungscodes der Rate $1/n$: <div class="definition">''':''' Die $D$<b>–Übertragungsfunktionen </b> der $n$ parallel angeordneten digitalen Filter werden im Vektor $\underline{G}(D)$ zusammengefasst: \[\underline{G}(D) = \left ( G^{(1)}(D), G^{(2)}(D), \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, G^{(n)} (D) \right )\hspace{0.05cm}.\] Der Vektor $\underline{X}(D)$ beinhaltet die $D$<b>–Transformierten</b> der $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}, \ ... \ , \underline{x}^{(n)}$: \[\underline{X}(D) = \left ( X^{(1)}(D), X^{(2)}(D), \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, X^{(n)} (D) \right )\hspace{0.05cm}.\]<div style="clear:both;"> </div> </div><br> Damit erhält man die folgende Vektorgleichung: \[\underline{X}(D) = U(D) \cdot \underline{G}(D)\hspace{0.05cm}.\] Aufgrund des Codeparameters $k = 1$ ist $U(D)$ hier keine vektorielle Größe.<br> <div class="example">''':''' [[File:P ID2609 KC T 3 2 S5b.png|right|frame|Faltungscoder mit $n = 2, \ k = 1$ und $m = 2$]] Wir betrachten beispielhaft den skizzierten Faltungscode mit den Codeparametern $n = 2, k = 1$ und $m = 2$. Für diesen gilt: \[\underline{g}^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm},\] \[\underline{g}^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G(D) = 1+ D^2 \] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{G}(D) = \big ( 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}1+ D^2 \big )\hspace{0.05cm}.\] Die Informationssequenz sei $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$, was zur $D$–Transformierten $U(D) = 1 + D^2 + D^3$ führt. Damit erhält man \[\underline{X}(D) = \left ( X^{(1)}(D),\hspace{0.1cm} X^{(2)}(D) \right ) = U(D) \cdot \underline{G}(D) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\] wobei \[{X}^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1+ D^2 + D^3) \cdot (1+ D + D^2)=\] \[\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm}1+ D + D^2 + D^2 + D^3 + D^4 + D^3 + D^4 + D^5 = 1+ D + D^5\] \[\Rightarrow \underline{x}^{(1)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},\] \[{X}^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1+ D^2 + D^3) \cdot (1+ D^2)=\] \[\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm}1+ D^2 + D^2 + D^4 + D^3 + D^5 = 1+ D^3 + D^4 + D^5\] \[\Rightarrow \underline{x}^{(2)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\] Das gleiche Ergebnis haben wir in der Aufgabe Z3.1 auf anderem Wege erhalten. Nach dem Multplexen der beiden Sränge erhält man wieder:   $\underline{x} = (11, 10, 00, 01, 01, 11, 00, 00, \ ...)$.<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-7--QINU`"' Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix (1) == <br> Auf der letzten Seite haben wir gesehen, dass ein Faltungscode der Rate $1/n$ sich am kompaktesten als Vektorgleichung im $D$–transformierten Bereich beschreiben lässt: \[\underline{X}(D) = U(D) \cdot \underline{G}(D)\hspace{0.05cm}.\] Nun erweitern wir das Resultat auf Faltungscodierer mit mehr als einem Eingang  ⇒  $k ≥ 2$ (siehe Grafik).<br> [[File:P ID2616 KC T 3 2 S6b v1.png|center|frame|Allgemeiner $(n, \ k)$–Faltungscoder |class=fit]]<br> Um einen Faltungscode der Rate $k/n$ im $D$–Bereich abbilden zu können, muss die Dimension obiger Vektorgleichung hinsichtlich Eingang und Übertragungsfunktion erhöht werden: \[\underline{X}(D) = \underline{U}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm},\] mit folgenden Maßnahmen: *Aus der skalaren Funktion $U(D)$ wird der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \ U^{(2)}(D), \ ... \ , \ U^{(k)}(D))$.<br> *Aus dem Vektor $\underline{G}(D)$ wird die $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$, die man als <span style="font-weight: bold;">Übertragungsfunktionsmatrix</span> bezeichnet (englisch: <i>Transfer Function Matrix</i> oder auch <i>Polynomial Generator Matrix</i>): :\[{\boldsymbol{\rm G}}(D)=\begin{pmatrix} G_1^{(1)}(D) & G_1^{(2)}(D) & \ldots & G_1^{(n)}(D)\\ G_2^{(1)}(D) & G_2^{(2)}(D) & \ldots & G_2^{(n)}(D)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ G_k^{(1)}(D) & G_k^{(2)}(D) & \ldots & G_k^{(n)}(D) \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] *Jedes der $k \cdot n$ Matrixelemente $G_i^{(j)}(D)$ mit $1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n$ ist ein Polynom über der Dummy–Variablen $D$ im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$, maximal vom Grad $m$, wobei $m$ das Gedächtnis angibt.<br> *Für die obige <i>Übertragungsfunktionsmatrix</i> kann mit den zu Beginn dieses Kapitels definierten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Definition_und_Interpretation_der_Teilmatrizen_G0.2C_..._.2C_Gm| Teilmatrizen]] $\mathbf{G}_0, \ ... \ , \mathbf{G}_m$ auch geschrieben werden (als Index verwenden wir wieder $l$): :\[{\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m \hspace{0.05cm}.\] Auf der nächsten Seite werden diese Definitionen und Gesetzmäßigkeiten an einem ausführlichen Beispiel verdeutlicht.<br> =='"`UNIQ--h-8--QINU`"' Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix (2) == <br> <div class="example">''':''' [[File:P ID2617 KC T 3 1 S4 v1.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 2, \ n = 3$ und m = 1]] Wir betrachten nun wieder den $(n = 3, \ k = 2, \ m = 1)$–Faltungscoder, dessen Teilmatrizen in einem [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Definition_und_Interpretation_der_Teilmatrizen_G0.2C_..._.2C_Gm| früheren Beispiel]] wie folgt ermittelt wurden: \[{ \boldsymbol{\rm G}}_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \\ { \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Wegen $m = 1$ existieren keine Teilmatrizen für $l ≥ 2$. Damit lautet die Übertragungsfunktionsmatrix: \[{\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D = \begin{pmatrix} 1+D & D & 1+D\\ D & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\] Die (zeitlich begrenzte) Informationssequenz sei $\underline{u} = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1)$, woraus sich die beiden Eingangsfolgen wie folgt ergeben: \[\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(1)}(D) = D + D^3 \hspace{0.05cm},\] \[\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(2)}(D) = 1 + D^3 \hspace{0.05cm}.\] Daraus folgt für den Vektor der $D$–Transformierten am Coderausgang: \[\underline{X}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \big (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(2)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(3)}(D)\hspace{0.05cm}\big ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\] \[\hspace{1cm} = \hspace{-0.15cm} \begin{pmatrix} D+D^3 & 1+D^3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & D & 1+D\\ D & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Damit ergeben sich in den drei Strängen folgende Codesquenzen: \[{X}^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot (1+D) + (1 + D^3) \cdot D =\] \[\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D + D^2 + D^3 + D^4 + D + D^4 = D^2 + D^3\] \[\Rightarrow \underline{x}^{(1)} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},\] \[{X}^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot D + (1 + D^3) \cdot 1 =\] \[\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D^2 + D^4 + 1 + D^3 = 1+D^2 + D^3 + D^4\] \[\Rightarrow \underline{x}^{(2)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},\] \[{X}^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot (1 + D) + (1 + D^3) \cdot 1 =\] \[\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D + D^2 + D^3+ D^4 + 1 + D^3 = 1+ D + D^2 + D^4\] \[\Rightarrow \underline{x}^{(3)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.\] Die gleichen Ergebnisse haben wir auf anderen Wegen bereits in vorherigen Beispielen erhalten: * im Beispiel von [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen| Kapitel 3.1, Seite 4]].<br> *im Beispiel von [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Generatormatrix_eines_Faltungscodierers_mit_Ged.C3.A4chtnis_m| Kapitel 3.2, Seite 2]].<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-9--QINU`"' Systematische Faltungscodes (1) == <br> Die Polynomrepräsentation anhand der Übertragungsfunktionsmtrix $\mathbf{G}(D)$ ermöglicht Einblicke in die Struktur eines Faltungscodes. Beispielsweise erkennt man anhand dieser $k × n$–Matrix, ob es sich um einen [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes_.282.29| systematischen Code]] handelt. Darunter versteht man einen Code, bei dem die Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ ... \ , \ \underline{x}^{(k)}$ mit den Informationssequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ ... \ , \ \underline{u}^{(k)}$ identisch sind. Die Grafik zeigt beispielhaft einen systematischen $(n = 4, k = 3)$–Faltungscode.<br> [[File:P ID2611 KC T 3 2 S7 v2.png|center|frame|Systematischer Faltungscode mit $k = 3$ und $n = 4$|class=fit]]<br> Ein systematischer $(n, k)$–Faltungscode liegt immer dann vor, wenn die Übertragungsfunktionsmatrix (mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten) folgendes Aussehen hat: \[{\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.05cm}.\] Hierbei ist folgende Nomenklatur verwendet: *$\mathbf{I}_k$ bezeichnet eine diagonale Einheitsmatrix der Dimension $k × k$.<br> *$\mathbf{P}(D)$ ist eine $k × (n \, –k)$–Matrix, wobei jedes Matrixelement ein Polynom in $D$ beschreibt.<br><br> <div class="example">''':''' Ein systematischer Faltungscode mit den Codeparametern $n = 3, \ k = 2, \ m = 2$ könnte beispielsweise die folgende Übertragungsfunktionsmatrix aufweisen: \[{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1+D^2\\ 0 & 1 & 1+D \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Andere systematische Faltungscodes mit gleichem $n$ und gleichem $k$ unterscheiden sich demgegenüber nur durch die beiden Matrixelemente in der letzten Spalte.<div style="clear:both;"> </div> </div><br> Zu jedem $(n, k)$–Faltungscode mit der Generatormatrix $\mathbf{G}(D)$ kann ein <span style="font-weight: bold;">äquivalenter systematischer Code</span> gefunden werden, dessen $D$–Matrix wir mit $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ benennen.<br> [[File:P ID2622 KC T 3 2 S7 v1.png|center|frame|Unterteilung von $\mathbf{G}(D)$ in $\mathbf{T}(D)$ und $\mathbf{Q}(D)$|class=fit]]<br> Auf der nächsten Seite wird gezeigt, wie man von einer beliebigen Matrix $\mathbf{G}(D)$ durch Aufspalten in zwei Teilmatrizen $\mathbf{T}(D)$ und $\mathbf{Q}(D)$ und verschiedene Matrizenoperationen zur Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ kommt.<br> =='"`UNIQ--h-10--QINU`"' Systematische Faltungscodes (2) == <br> Um von einer Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ zur Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ eines äquivalenten systematischen Faltungscodes zu kommen, geht man entsprechend der [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes_.281.29| Grafik]] auf der letzten Seite wie folgt vor: *Man unterteilt die $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$ in eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit $k$ Zeilen und $k$ Spalten und bezeichnet den Rest mit $\mathbf{Q}(D)$. *Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{–1}(D)$ und daraus die Matrix für den äquivanten systematischen Code: :\[{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.\] *Da $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden: :\[{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. \hspace{0.05cm}\] <div class="example">''':''' [[File:P ID2613 KC T 3 2 S1 neu.png|right|frame|Faltungscodierer der Rate $2/3$]] Der auf den letzten Seiten schon häufiger betrachtete Coder der Rate $2/3$ ist nicht systematisch, weil zum Beispiel $\underline{x}^{(1)} ≠ \underline{u}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)} ≠ \underline{u}^{(2)}$ gilt (siehe nebenstehende Coderschaltung).<br> Man erkennt dies aber auch anhand der Übertragungsfunktionsmatrix: \[{\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}\big ]\] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) = \begin{pmatrix} 1+D & D\\ D & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \begin{pmatrix} 1+D \\ 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Die Determinante von $\mathbf{T}(D)$ ergibt sich zu $(1 + D) \cdot 1 + D \cdot D = 1 + D + D^2$ und ist ungleich $0$. Somit kann für die Inverse von $\mathbf{T}(D)$ geschrieben werden (Vertauschung der Diagonalelemente!): \[{\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & D\\ D & 1+D \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.\] Das Produkt $\mathbf{T}(D) \cdot \mathbf{T}^{–1}(D)$ ergibt die Einheitsmatrix $\mathbf{I}_2$, und für die dritte Spalte von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ gilt: \[{\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & D\\ D & 1+D \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1+D\\ 1 \end{pmatrix} \] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) = \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix} (1+D) + D \\ D \cdot (1+D) + (1+D) \end{pmatrix} = \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1+D^2 \end{pmatrix} \] \[\Rightarrow \hspace{0.2cm}{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{1+D+D^2}\\ 0 & 1 &\frac{1+D^2}{1+D+D^2} \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. \] Es ist noch zu klären, wie das Filter einer solchen gebrochen–rationalen Übertragungsfunktion aussieht.<div style="clear:both;"> </div> </div><br> =='"`UNIQ--h-11--QINU`"' Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion == <br> Hat eine Übertragungsfunktion die Form $G(D) = A(D)/B(D)$, so bezeichnet man das zugehörige Filter als <i>rekursiv</i>. Bei einem rekursiven Faltungscodierer mit dem Gedächtnis $m$ kann für die beiden Polynome $A(D)$ und $B(D)$ allgemein geschrieben werden: \[A(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} a_l \cdot D^l = a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm} + a_m \cdot D^m \hspace{0.05cm},\] \[B(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 1 + \sum_{l = 1}^{m} b_l \cdot D^l = 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm} + b_m \cdot D^m \hspace{0.05cm}.\] Die Grafik zeigt die entsprechende Filterstruktur in der so genannten <i>Controller Canonical Form</i>.<br> [[File:P ID2619 KC T 3 2 S8 v1.png|center|frame|Rekursives Filter zur Realisierung von $G(D) = A(D)/B(D)$|class=fit]]<br> Die Koeffizienten $a_0, \ ... \ , \ a_m$ beschreiben den Vorwärtszweig, während $b_1, \ ... \ , \ b_m$ eine Rückkopplung bilden. Alle Koeffizienten sind binär, also $1$ (durchgehende Verbindung) oder $0$ (fehlende Verbindung).<br> <div class="example">''':''' Die rechts skizzierte Filterstruktur lässt sich durch folgende Gleichungen beschreiben: \[x_i \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-2} \hspace{0.05cm},\] \[w_i \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-1}+ w_{i-2} \hspace{0.05cm}.\] Entsprechend gilt für die $D$–Transformierten:

\[X(D) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} W(D) + W(D) \cdot D^2 =\] \[ \hspace{1.3cm} = \hspace{0.15cm} W(D) \cdot \left ( 1+ D^2 \right ) \hspace{0.05cm},\]

\[W(D) = \hspace{0.08cm} U(D) + W(D) \cdot D+ W(D) \cdot D^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} U(D) = W(D) \cdot \left ( 1+ D + D^2 \right ) \hspace{0.05cm}.\]

Somit erhält man für die Übertragungsfunktion dieses Filters:

\[G(D) = \frac{X(D)}{U(D)} = \frac{1+D^2}{1+D+D^2} \hspace{0.05cm}. \]

Im Beispiel zu den systematischen Faltungscodes hat sich genau ein solcher Ausdruck ergeben.

Aufgaben

A3.2 G–Matrix eines Faltungscoders

A3.3 x über U(D) und G(D)

A3.4 Systematische Faltungscodes

A3.5 Rekursive Filter für GF(2)