Aufgaben:Exercise 1.4: Maximum Likelihood Decision

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Zur Maximum–Likelihood–Decodierung

Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:

• ein systematischer (5, 2)–Blockcode C mit den Codeworten

$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm},$$

• ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x ∈ GF($2^{5}$) in den Vektor $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5}$) verfälscht,
• ein Maximum–Likelihood–Decoder mit der Entscheidungsregel

$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$

In der Gleichung bezeichnet $d_{\rm H} (\underline{y},\underline{x_{i}})$ die Hamming–Distanz zwischen Empfangswort $\underline{y}$ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort $\underline{x_{i}}$.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen

Fragebogen

1

Es sei $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$. Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?

	$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

2

Es sei $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$. Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?

	$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

3

Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$, wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole eher unsicher sind?

	$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
	$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

4

Zu welchem Informationswort $\upsilon = (\upsilon_{1}, \upsilon_{2})$ führt diese Entscheidung?

$\upsilon_{1}$ =

$\upsilon_{2}$ =

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.