Aufgaben:Exercise 3.10: Metric Calculation

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Nur teilweise ausgewertetes Trellis

Im Theorieteil zu diesem Kapitel wurde die Berechnung der Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$ ausführlich behandelt, die auf der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}', \ \underline{y}_i)$ zwischen den möglichen Codeworten $\underline{x}' ∈ \{00, \, 01, \, 10, \, 11\}$ und den zu dem Zeitpunkt $i$ empfangenen 2–Bit–Worten $\underline{y}_i$ basiert.

Die Aufgabe beschäftigt sich genau mit dieser Thematik. In nebenstehender Grafik

• ist das betrachtete Trellis dargestellt – gültig für den Code mit Rate $R = 1/2$, Gedächtnis $m = 2$ sowie $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
• sind die Empfangsworte $\underline{y}_1 = (01), \ ... \ , \ \underline{y}_7 = (11)$ in den Rechtecken angegeben,
• sind bereits alle Fehlergrößen ${\it \Gamma}_0(S_{\mu}), \ ... \ , \ {\it \Gamma}_4(S_{\mu})$ eingetragen.

Beispielsweise ergibt sich die Fehlergröße ${\it \Gamma}_4(S_0)$ mit $\underline{y}_4 = (01)$ als das Minimum der beiden Vergleichswerte

• ${\it \Gamma}_3(S_0) + d_{\rm H}((00), \ (01)) = 3 + 1 = 4$, und
• ${\it \Gamma}_3(S_2) + d_{\rm H}((11), \ (01)) = 2 + 1 = 3$.

Der überlebende Zweig – hier von ${\it \Gamma}_3(S_2)$ nach ${\it \Gamma}_4(S_0)$ – ist durchgezogen gezeichnet, der eliminierte Zweig von ${\it \Gamma}_3(S_0)$ nach ${\it \Gamma}_4(S_0)$ punktiert. Rote Pfeile stehen für das Informationsbit $u_i = 0$, blaue Pfeile für $u_i = 1$.

In der Teilaufgabe (4) soll der Zusammenhang zwischen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$–Minimierung und ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Maximierung herausgearbeitet werden. Hierbei bezeichnet man die Knoten ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$ als Metriken, wobei sich der Metrikzuwachs gegenüber den Vorgängerknoten aus dem Korrelationswert $〈\underline{x}_i', \, \underline{y}_i 〉$ ergibt. Näheres zu dieser Thematik finden Sie auf den folgenden Theorieseiten:

• Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation,
• Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (1),
• Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (2).

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Decodierung von Faltungscodes.
• Vorerst nicht betrachtet wird die Suche der überlebenden Pfade. Damit beschäftigt sich für das gleiche Beispiel die nachfolgende Aufgabe A3.11.

Fragebogen

1

Wie lauten die Fehlergrößen für den Zeitpunkt $i = 5$?

${\it \Gamma}_5(S_0) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_1) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_2) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_3) \ = \ $

2

Wie lauten die Fehlergrößen für den Zeitpunkt $i = 6$?

${\it \Gamma}_6(S_0) \ = \ $

${\it \Gamma}_6(S_2) \ = \ $

3

Welcher Endwert ergibt sich bei diesem Trellis, basierend auf ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$?

	Es gilt ${\it \Gamma}_7(S_0) = 3$.
	Der Endwert lässt auf eine fehlerfreie Übertragung schließen.
	Der Endwert lässt auf drei Übertragungsfehler schließen.

4

Welche Aussagen sind für die ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Auswertung zutreffend?

	Die Metriken ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$ liefern gleiche Informationen wie ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$.
	Für alle Knoten gilt ${\it \Lambda}_i(S_{\mu}) = 2 \cdot [i \, –{\it \Gamma}_i(S_{\mu})$.
	Für die Metrikzuwächse gilt $〈 \underline{x}_i', \, \underline{y}_i 〉 ∈ \{0, \, 1, \, 2\}$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)