Aufgaben:Exercise 1.09: Extended Hamming Code

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(7, 4) Hamming – (8, 4) Erweiterung

Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden, deren Codetabellen rechts angegeben sind. Die ersten vier Bit eines jeden Codewortes x geben das jeweilige Informationswort u wider (schwarze Schrift). Danach folgen $m = n – k$ Prüfbit (rote Schrift).

• Der systematische (7, 4)–Hamming–Code wurde bereits in Aufgabe 1.6 sowie Aufgabe 1.07 behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:

$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code $C_{1}$ genannt.

• Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern $n = 8$ und $k = 4$ an, der in der Literatur meist als „erweiteter Hamming–Code” bezeichnet wird. Wir nennen diesen (grün hinterlegten) Code im Folgenden $C_{2}$ und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ und die dazugehörige Generatormatrix mit ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .

Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich auf

• die Coderate,
• die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten,
• die Prüfmatrix und die Generatormatrix des erweiterten (8, 4)–Hamming–Codes.

Hinweis :

Die Aufgabe gehört zu Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes. Beachten Sie bei der Lösung, dass $C_{1}$ und $C_{2}$ jeweils systematische Codes sind. Die nachfolgende Aufgabe 1.09Z behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.

Fragebogen

1 Multiple-Choice Frage

	Falsch
	Richtig

2 Input-Box Frage

$\alpha$ =

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.