Aufgaben:Exercise 4.6: Product Code Generation

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Verwendete Komponentencodes

Es soll ein Produktcode (42, 12) generiert werden, der auf folgenden Komponentencodes aufbaut:

• dem Hammingcode (7, 4, 3) $\Rightarrow C_1$,
• dem verkürzten Hamming–Code (6, 3, 3) $\Rightarrow C_2$.

Die entsprechenden Codetabellen sind rechts angegeben, wobei jeweils drei Zeilen unvollständig sind. Diese sollen von Ihnen ergänzt werden.

Das zu einem Informationsblock $\underline{u}$ gehörige Codewort ergibt sich allgemein entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$. Wie auch in der Aufgabe Z4.6 wird hier von folgenden Generatormatrizen ausgegangen:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1

= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm G}}_2

= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In der gesamten Aufgabe gelte für den Informationsblock:

$${ \boldsymbol{\rm U}}

= \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Gesucht sind entsprechend der Nomenklatur auf der ersten Theorieseite:

• die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(1)}$ bezüglich des horizontalen Codes $C_1$,
• die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(2)}$ bezüglich des vertikalen Codes $C_2$,
• die Checks–on–Checks–Matrix $\mathbf{P}^{(12)}$.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.

Fragebogen

1 Welche Ergebnisse liefert die Zeilencodierung mit dem (7, 4, 3)–Code $C_1$?

	Erste Zeile: $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1)$.
	Zweite Zeile: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$.
	Dritte Zeile: $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$.

2 Welche Ergebnisse liefert die Spaltencodierung mit dem (6, 3, 3)–Code $C_2$?

	Erste Spalte: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1)$.
	Zweite Spalte: $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1)$.
	Dritte Spalte: $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$.
	Vierte Spalte: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \,0, \, 0)$.

3 Welche Aussagen gelten für die Checks–on–Checks–Matrix?

	Die erste Zeile lautet $(1, \, 0, \, 1)$ und die erste Spalte $(1, \, 1, \0)$.
	Die zweite Zeile lautet $(1, \, 0, \, 1)$ und die zweite Spalte $(0, \, 0, \, 0)$.
	Die dritte Zeile lautet $(0, \, 0, \, 0)$ und die dritte Spalte $(0, \, 0, \, 0)$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)