Exercise 2.4Z: Repetition to IDFT

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Mustersätze zur IDFT

Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(\nu) \ {\rm mit} \ \nu = 0, ... , N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(\mu) \ {\rm mit} \ \mu = 0, ... , N – 1$ wie folgt berechnet:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( \frac {2 \pi}{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( \frac {2 \pi}{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:

$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel Gain Scaling und Tone Ordering des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen Aufgabe A5.2. Sie können sich die Lösung auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:

Diskrete Fouriertransformation

DFT und IDFT spielen auch bei DSM/DSL eine große Rolle. Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen. Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:

$$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm A}$?

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „A”}: \ \ d(0) \ = \ $

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „A”}: \ \ d(1) \ = \ $

2

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „B”}: \ \ d(0) \ = \ $

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „B”}: \ \ d(1) \ = \ $

3

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „C”}: \ \ d(0) \ = \ $

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „C”}: \ \ d(1) \ = \ $

4

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm D}$?

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „D”}: \ \ d(0) \ = \ $

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „D”}: \ \ d(1) \ = \ $

5

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm E}$?

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „E”}: \ \ d(0) \ = \ $

$D(\mu) \ {\rm gemäß \ „E”}: \ \ d(1) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)