Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.3Z: Oscillation Parameters"
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:$$x(t)=C\cdot\cos\bigg(2\pi \cdot \frac{t-\tau}{T_0}\bigg)$$ | :$$x(t)=C\cdot\cos\bigg(2\pi \cdot \frac{t-\tau}{T_0}\bigg)$$ | ||
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{Wie groß ist die Periodendauer $T_0$ und die Grundfrequenz $f_0$? | {Wie groß ist die Periodendauer $T_0$ und die Grundfrequenz $f_0$? | ||
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| − | $T_0$ | + | $T_0\hspace{0.2cm} = \ $ { 12 3% } $\text{ms}$ |
| − | $f_0$ | + | $f_0\hspace{0.2cm} = \ $ { 83.33 3% } $\text{Hz}$ |
{Welchen Wert haben hier die Verschiebung $\tau$ und die Phase $\varphi$ (in $\text{Grad}$)? | {Welchen Wert haben hier die Verschiebung $\tau$ und die Phase $\varphi$ (in $\text{Grad}$)? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $\tau$ | + | $\tau\hspace{0.25cm} = \ $ { 2 3% } $\text{ms}$ |
| − | $\varphi$ | + | $\varphi\hspace{0.2cm} = \ $ { 60 3% } $\text{Grad}$ |
{Wie groß ist die Amplitude der harmonischen Schwingung? | {Wie groß ist die Amplitude der harmonischen Schwingung? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | ${C}$ | + | ${C}\ = \ $ { 6 3% } $\text{V}$ |
{Wie lautet das Spektrum $X(f)$? Welches Gewicht hat die Spektrallinie bei $+f_0$? | {Wie lautet das Spektrum $X(f)$? Welches Gewicht hat die Spektrallinie bei $+f_0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $\text{Re}[X(f = f_0)]$ | + | $\text{Re}[X(f = f_0)]\ = \ $ { 1.5 3% } $\text{V}$ |
| − | $\text{Im}[X(f = f_0)]$ | + | $\text{Im}[X(f = f_0)] \ = \ $ { -2.65--2.55 } $\text{V}$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | '''(1)''' Es gilt $T_0 = t_2 – t_1 = 12\, \text{ms}$ und $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.1cm} \underline{\approx 83.33\, \text{Hz}}$. |
| + | |||
| + | |||
| + | '''(2)''' Die Verschiebung beträgt $\tau = 2\, \text{ms}$; die Phase ist $\varphi = 2\pi \cdot \tau/T_0 = \pi/3$ entsprechend $60^{\circ}$. | ||
| − | |||
| − | '''3 | + | '''(3)''' Aus dem Wert zum Zeitpunkt $t = 0$ folgt für die Amplitude ${C} = 6 \,\text{V}$: |
:$$x_0=x(t=0)=C\cdot\cos(-60\,^\circ)={C}/{2}=\rm 3\,V | :$$x_0=x(t=0)=C\cdot\cos(-60\,^\circ)={C}/{2}=\rm 3\,V | ||
\hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm}\hspace{0.15cm}\underline{\it C=\rm 6\,V}.$$ | \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm}\hspace{0.15cm}\underline{\it C=\rm 6\,V}.$$ | ||
| − | '''4 | + | '''(4)''' Die dazugehörige Spektralfunktion lautet: |
:$$X(f)={C}/{2}\cdot{\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f-f_0)+{C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f+f_0).$$ | :$$X(f)={C}/{2}\cdot{\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f-f_0)+{C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f+f_0).$$ | ||
Revision as of 11:10, 20 December 2017
Schwingung mit eingezeichneten Parametern
Jede harmonische Schwingung kann auch in der Form
- $$x(t)=C\cdot\cos\bigg(2\pi \cdot \frac{t-\tau}{T_0}\bigg)$$
geschrieben werden. Die Schwingung ist somit durch drei Parameter vollständig bestimmt:
- die Amplitude $C$,
- die Periodendauer $T_0$,
- die Verschiebung $\tau$ gegenüber einem Cosinussignal.
Eine zweite Darstellungsform lautet mit der Grundfrequenz $f_0$ und der Phase $\varphi$:
- $$x(t)=C \cdot\cos(2\pi f_0t-\varphi).$$
Von einer harmonischen Schwingung ist nun bekannt, dass
- das erste Signalmaximum bei $t_1 = 2 \,\text{ms}$ auftritt,
- das zweite Signalmaximum bei $t_2 = 14 \,\text{ms}$ auftritt,
- der Wert $x_0 ={x(t = 0)} = 3 \,\text{V}$ ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Es gilt $T_0 = t_2 – t_1 = 12\, \text{ms}$ und $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.1cm} \underline{\approx 83.33\, \text{Hz}}$.
(2) Die Verschiebung beträgt $\tau = 2\, \text{ms}$; die Phase ist $\varphi = 2\pi \cdot \tau/T_0 = \pi/3$ entsprechend $60^{\circ}$.
(3) Aus dem Wert zum Zeitpunkt $t = 0$ folgt für die Amplitude ${C} = 6 \,\text{V}$:
- $$x_0=x(t=0)=C\cdot\cos(-60\,^\circ)={C}/{2}=\rm 3\,V \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm}\hspace{0.15cm}\underline{\it C=\rm 6\,V}.$$
(4) Die dazugehörige Spektralfunktion lautet:
- $$X(f)={C}/{2}\cdot{\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f-f_0)+{C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f+f_0).$$
Das Gewicht der Diraclinie bei $f = f_0$ (erster Term) ist ${C}/2 \cdot e^{–\text{j}\varphi} \hspace{0.05cm}\approx \underline{1.5 \,\text{V} – \text{j} \cdot 2.6 \,\text{V}}$.
