Aufgaben:Exercise 4.6Z: Locality Curve for Phase Modulation

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Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.

Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals überprüfen.

Fragebogen

1

Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?

$a(t = 0)\ = \ $

2

Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$?

$\phi_{\rm min}\ = \ $  $\text{Grad}$

$\phi_{\rm min}\ = \ $  $\text{Grad}$

3

Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t)$ den Modulationsindex $\eta$.

$\eta\ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
	Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒  nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
	Mit den Signalwerten $\pm 1$ (es gilt dann nicht $q_{\rm min} = -0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.

Musterlösung

Solution

1. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion $a(t)$ konstant gleich 2.

2. Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:

• $\phi_{min} = –\hspace{-0.08cm} \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{–90^\circ}$,
• $\phi_{max} +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.

3. Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$

Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = –\pi /2$ und $q_{\rm min} = –0.5$ bestätigt.

4. Ist $q(t) = \text{const.} =\hspace{0.1cm} –\hspace{-0.05cm}0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$

Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$

Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. ⇒  Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.

Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = \hspace{0.1cm}– s_0 \Rightarrow$ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.

Richtig sind somit der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.