Signal Representation/Discrete Fourier Transform (DFT)

1. Signal Representation
2. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung
3. Discrete Fourier Transform (DFT)

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Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation

Die Fouriertransformation gemäß der bisherigen Beschreibung im Kapitel Aperiodische Signale – Impulse weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.

Sollen die Spektralanteile $X(f)$ einer Zeitfunktion $x(t)$ numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen

$$\begin{align*}X(f) & = \int_{-\infty

}^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {\boldsymbol {\rm Hintransformation}}
\hspace{0.05cm},\\

x(t) & = \int_{-\infty

}^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}

{\boldsymbol {\rm R\ddot{u}cktransformation}}

\hspace{0.05cm}\end{align*}$$

aus zwei Gründen ungeeignet:

• Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren können jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeitet werden.
• Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.

$\text{Fazit:}$  Daraus ergibt sich folgende Konsequenz: Ein kontinuierliches Signal muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich

• den der Abtastung zur Diskretisierung, und
• den der Fensterung zur Begrenzung des Integrationsintervalls.

Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem dazugehörigen Fourierspektrum $X(f)$ eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung schrittweise entwickelt.

Zeitdiskretisierung – Periodifizierung im Frequenzbereich

Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind $x(t)$ und $X(f)$ jeweils reell und gaußförmig.

Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich

Entsprechend dem Kapitel Zeitdiskrete Signaldarstellung kann man die Abtastung des Zeitsignals $x(t)$ durch die Multiplikation mit einem Diracpuls $p_{\delta}(t)$ beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastete Zeitsignal

$${\rm A}\{x(t)\} = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot

\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

Dieses abgetastete Signal $\text{A}\{ x(t)\}$ transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses $p_{\delta}(t)$ mit $x(t)$ entspricht im Frequenzbereich die Faltung von $P_{\delta}(f)$ mit $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei $f_{\rm P}$ die Frequenzperiode der Funktion $\text{P}\{ X(f)\}$ angibt:

$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}

X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm
P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Zusammenhang wurde ebenfalls bereits im Kapitel Zeitdiskrete Signaldarstellung hergeleitet, jedoch mit etwas anderer Nomenklatur. Diese Nomenklaturänderung wird auf den nachfolgenden Seiten begründet:

• Das abgetastete Signal nennen wir nun $\text{A}\{ x(t)\}$ anstelle von $x_{\rm A}(t)$.
• Die Frequenzperiode wird nun mit $f_{\rm P}$ = $1/T_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ bezeichnet.

Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Hierzu ist anzumerken:

• Die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
• In der Praxis sollte $f_{\rm P}$ aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal $x(t)$ enthaltene Frequenz.
• Ist dies nicht erfüllt, so muss mit Aliasing gerechnet werden – siehe Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

Frequenzdiskretisierung – Periodifizierung im Zeitbereich

Die Diskretisierung von $X(f)$ lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $f_{\rm A}$ abgetastete Spektrum:

$${\rm A}\{X(f)\} = X(f) \cdot \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}

f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$

Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls (mit Impulsgewichten $f_{\rm A}$) in den Zeitbereich, so erhält man mit $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:

$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}

f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
\sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
 \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit $X(f)$ entspricht im Zeitbereich der Faltung mit $x(t)$. Man erhält das im Abstand $T_{\rm P}$ periodifizierte Signal $\text{P}\{ x(t)\}$:

$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}

{\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
 \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
 x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht:

• Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode $T_{\rm P}$ ein relativ kleiner Wert.
• Deshalb unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal $\text{P}\{ x(t)\}$ aufgrund von Überlappungen deutlich von $x(t)$.

Finite Signaldarstellung

Zur so genannten finiten Signaldarstellung kommt man, wenn sowohl die Zeitfunktion $x(t)$ wie auch die Spektralfunktion $X(f)$ ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.

Finite Signale der DFT

Diese Grafik ist wie folgt zu interpretieren:

• Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion $\text{P}\{ x(t)\}$ mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
• Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung (mit $f_{\rm P}$) der abgetasteten Spektralfunktion $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
• Zwischen dem blauen finiten Signal und dem grünen finiten Signal besteht eine Fourierkorrespondenz, und zwar folgende:

$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$ der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ ein ganzzahliges Vielfaches $(N)$ des Frequenzabtastabstandes $f_{\rm A}$ ist.
• Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei für die natürliche Zahl $N$ in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet wird (der obigen Grafik liegt der Wert $N = 8$ zugrunde):

$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A}}= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}

N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$

• Bei Einhaltung der Bedingung $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$ ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:

$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}

{\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Die Zeitfunktion $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$ besitzt die Periode $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$. Die Periode im Frequenzbereich ist $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$. Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils $N$ komplexe Zahlenwerte in Form von Impulsgewichten aus.

$\text{Beispiel 2:}$  Es liegt ein impulsartiges Signal $x(t)$ in abgetasteter Form vor, wobei der Abstand zweier Abtastwerte $T_{\rm A} = 1\, {\rm µ s}$ beträgt:

• Nach einer diskreten Fouriertransformation mit $N = 512$ liegt das Spektrum $X(f)$ in Form von Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $ vor.
• Vergrößert man den DFT–Parameter auf $N= 2048$, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.

Von der kontinuierlichen zur diskreten Fouriertransformation

Aus dem herkömmlichen ersten Fourierintegral

$$X(f) =\int_{-\infty

}^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f  \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

entsteht durch Diskretisierung $(\text{d}t \to T_{\rm A}$, $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$, $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$, $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$ die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion

$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}

 {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}
\cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$

Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind. Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:

• Die $N$ Zeitbereichskoeffizienten seien mit der Laufvariablen $\nu$ = 0, ... , $N - 1$:

$$d(\nu) =

 {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die $N$ Frequenzbereichskoeffizienten seien mit der Laufvariablen $\mu$ = 0, ... , $N$ – 1:

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot

 {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Abkürzend wird für den von $N$ abhängigen komplexen Drehfaktor geschrieben:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}

= \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
\hspace{0.05cm}.$$ 

$\text{Definition:}$  Unter dem Begriff Diskreten Fouriertransformation (kurz DFT) versteht man die Berechnung der $N$ Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ aus den $N$ Signalkoeffizienten $d(\nu)$:

Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT)

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}

 d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$

In der Grafik erkennt man

• die $N = 8$ Signalkoeffizienten $d(\nu)$ an der blauen Füllung,
• die $N = 8$ Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ an der grünen Füllung.

Inverse Diskrete Fouriertransformation

Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das zweite Fourierintegral

$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty

}^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.05cm}
t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$

in diskretisierter Form:   $d(\nu) =

 {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
 A}}\hspace{0.01cm}.$

{{BlaueBox|TEXT= $\text{Definition:}$  Unter dem Begriff Inversen Diskreten Fouriertransformation (kurz IDFT) versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten $d(\nu)$ aus den Spektralkoeffizienten $D(\mu)$:

Zur Definition der IDFT

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1}

D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Mit den Laufvariablen $\nu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$ und $\mu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$ gilt auch hier:

$$d(\nu) =

 {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
 A} }\hspace{0.01cm},$$

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot

 {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} }
 \hspace{0.01cm},$$

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}

\hspace{0.01cm}.$$}}

Ein Vergleich zwischen der DFT und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:

• Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
• Bei der IDFT entfällt die Division durch $N$.

Interpretation von DFT und IDFT

Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.

Zeit- und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT

Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:

• Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten $d(ν)$ und $D(\mu)$ stets die Einheit der Zeitfunktion.
• Dividiert man $D(\mu)$ durch $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
• Die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
• Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten TP–Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten $d(\nu)$.
• Als Grundintervall für $\nu$ und $\mu$ definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von $0$ bis $N - 1$.
• Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen $\langle d(\nu)\rangle = \langle d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \rangle$ sowie $\langle D(\mu)\rangle = \langle D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}. , D(N-1) \rangle$ werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:

$$\langle D(\mu)\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle d(\nu)\rangle \hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Zeitfunktion $x(t)$ bereits auf den Bereich $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$ begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:   $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
• Ist das Zeitsignal $x(t)$ gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im folgenden Beispiel gezeigte Zuordnung zwischen $x(t)$ und den Koeffizienten $d(\nu)$ wählen.

$\text{Beispiel 3:}$  Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.

Zur Belegung der DFT-Koeffizienten

Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten für das Beispiel $N = 8$

• Für $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$ gilt $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:

$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}

d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$

$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}

d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen sind die Koeffizienten $d(5)$, $d(6)$ und d$(7)$ wie folgt zu setzen:

$$d(\nu) = x ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm A})

\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$

$$d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}

d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.2: Inverse Diskrete Fouriertransformation

Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses